Skalarni proizvod

Skalarni proizvod dva vektora je definiran kao proizvod dužine prvog i drugog vektora i kosinusa ugla između njih. Dobiveni je rezultat skalar.

$\vec a\cdot\vec b = \vec b\cdot\vec a = \left |\vec a\right |\left |\vec b\right |\cos\phi$

Skalarni proizvod vektora sa samim sobom daje kvadrat njegove dužine, jer je u tom slučaju kosinus 0° jednak 1. Skalarni proizvod vektora koji su pod pravim uglom (90°) jednak je 0, jer je kosinus pravog ugla 0.

Skalarni proizvod je komutativan, distributivan i linearan.

Definicija i primjer

Definicija skalarnog proizvoda vektora a = [a₁, a₂, … , a_n] i vektora b = [b₁, b₂, … , b_n] :

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$

• gdje Σ označava sabiranje po komponentama.

Primjer skalarnog množenja na trodimenzionalnom vektoru [1, 3, −5] i [4, −2, −1]:

$\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}4&-2&-1\end{bmatrix} = (1)(4) + (3)(-2) + (-5)(-1) = 3.$

Za dva kompleksna kolonska vektora, skalarni proizvod je definisan kao

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum{\overline{b_i} a_i}$

gdje je

$\overline{b_i}$

konjugovano kompleksan broj od $b_i$; uočite da, u slučaju kompleksnih brojeva, imamo da je

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \overline{\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}}$

Skalarni proizvod primjenljuje se na vektore iz ortonormalnih vektorskih prostora. Njegova generalizacija na neortonormalne vektorske prostore opisana je ispod.

Geometrijska interpretacija

S obzirom da znamo da je skalarni umnožak i umnožak sa uglom između dva vektora, možemo inverznom operacijom izračunati i ugao.

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \,$ $\Longrightarrow$ $\theta = \arccos \left( \frac {\bold{a}\cdot\bold{b}} {|\bold{a}||\bold{b}|}\right).$

Dokaz geometrijske intepretacije

Razmotrimo vektor

$\mathbf{v} = v_1 \mathbf{i} + v_2 \mathbf{j} + v_3 \mathbf{k}. \,$

Uzastopnom upotrebom Pitagorinog teorema dobijamo jegovu dužinu v

$v^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2. \,$

Dobijeno je isto kao i

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2, \,$

tako da zaključujemo da ćemo, ako skalarno pomnožimo vektor v sa samim sobom, dobiti njegovu dužinu na kvadrat.

Lema 1

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = v^2. \,$

Sada razmatrajmo dva vektora a i b koji potiču iz istog ishodišta, a koje odvaja ugao θ. Treće vektor c može se definisati kao

$\mathbf{c} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf{a} - \mathbf{b}. \,$

tvoreći trougao sa stranicama a, b i c. Prema kosinusnom teoremu, imamo da je

$c^2 = a^2 + b^2 - 2 ab \cos \theta. \,$

Zamjenom skalarnog proizvoda za kvadrat dužine prema lemi 1, dobijamo

$\mathbf{c} \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} - 2 ab \cos\theta. \,$                   (1)

Ali pošto je c ≡ a − b, također imamo da je

$\mathbf{c} \cdot \mathbf{c} = (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \,$,

što je, prema pravilu distributivnosti, prošireno na

$\mathbf{c} \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} -2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}). \,$                     (2)

Izjednačavanjem dvije c • c jednačine, (1) i (2), dobijamo

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} -2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} - 2 ab \cos\theta. \,$

Oduzimanjem a • a + b • b sa obje strane i dijeljenjem sa −2 ostavlja nam

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = ab \cos\theta. \,$

Q.E.D.

Također pogledajte

• Vektorski proizvod
• Vektorski zbir