Skalarni proizvod

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Scalarproduct.gif

Skalarni proizvod dva vektora je definiran kao proizvod dužine prvog i drugog vektora i kosinusa ugla između njih. Dobiveni je rezultat skalar.

\vec a\cdot\vec b = \vec b\cdot\vec a = \left |\vec a\right |\left |\vec b\right |\cos\phi

Skalarni proizvod vektora sa samim sobom daje kvadrat njegove dužine, jer je u tom slučaju kosinus jednak 1. Skalarni proizvod vektora koji su pod pravim uglom (90°) jednak je 0, jer je kosinus pravog ugla 0.

Skalarni proizvod je komutativan, distributivan i linearan.

Definicija i primjer[uredi | uredi izvor]

Definicija skalarnog proizvoda vektora a = [a1, a2, … , an] i vektora b = [b1, b2, … , bn] :

\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n
  • gdje Σ označava sabiranje po komponentama.

Primjer skalarnog množenja na trodimenzionalnom vektoru [1, 3, −5] i [4, −2, −1]:

\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}4&-2&-1\end{bmatrix} = (1)(4) + (3)(-2) + (-5)(-1) = 3.

Za dva kompleksna kolonska vektora, skalarni proizvod je definisan kao

\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum{\overline{b_i} a_i}

gdje je

\overline{b_i}

konjugovano kompleksan broj od b_i; uočite da, u slučaju kompleksnih brojeva, imamo da je

 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \overline{\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}}

Skalarni proizvod primjenljuje se na vektore iz ortonormalnih vektorskih prostora. Njegova generalizacija na neortonormalne vektorske prostore opisana je ispod.

Geometrijska interpretacija[uredi | uredi izvor]

S obzirom da znamo da je skalarni umnožak i umnožak sa uglom između dva vektora, možemo inverznom operacijom izračunati i ugao.

 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \, \Longrightarrow \theta =  \arccos \left( \frac {\bold{a}\cdot\bold{b}} {|\bold{a}||\bold{b}|}\right).

Dokaz geometrijske intepretacije[uredi | uredi izvor]

Razmotrimo vektor

 \mathbf{v} = v_1 \mathbf{i} + v_2 \mathbf{j} + v_3 \mathbf{k}. \,

Uzastopnom upotrebom Pitagorinog teorema dobijamo jegovu dužinu v

 v^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2. \,

Dobijeno je isto kao i

 \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2, \,

tako da zaključujemo da ćemo, ako skalarno pomnožimo vektor v sa samim sobom, dobiti njegovu dužinu na kvadrat.

Lema 1
 \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = v^2. \,

Sada razmatrajmo dva vektora a i b koji potiču iz istog ishodišta, a koje odvaja ugao θ. Treće vektor c može se definisati kao

 \mathbf{c} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \mathbf{a} - \mathbf{b}. \,

tvoreći trougao sa stranicama a, b i c. Prema kosinusnom teoremu, imamo da je

 c^2 = a^2 + b^2 - 2 ab \cos \theta. \,

Zamjenom skalarnog proizvoda za kvadrat dužine prema lemi 1, dobijamo


  \mathbf{c} \cdot \mathbf{c} 
= \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} 
+ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} 
- 2 ab \cos\theta. \,
                  (1)

Ali pošto je cab, također imamo da je


  \mathbf{c} \cdot \mathbf{c} 
= (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \,,

što je, prema pravilu distributivnosti, prošireno na


  \mathbf{c} \cdot \mathbf{c} 
= \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} 
+ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} 
-2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}). \, 
                    (2)

Izjednačavanjem dvije cc jednačine, (1) i (2), dobijamo


  \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} 
+ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} 
-2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) 
= \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} 
+ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} 
- 2 ab \cos\theta. \,

Oduzimanjem aa + bb sa obje strane i dijeljenjem sa −2 ostavlja nam

 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = ab \cos\theta. \,

Q.E.D.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Commons logo
U Wikimedijinom spremniku se nalazi još materijala vezanih uz: