Skalarni proizvod

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Scalarproduct.gif

Skalarni proizvod dva vektora je definiran kao proizvod dužine prvog i drugog vektora i kosinusa ugla između njih. Dobiveni je rezultat skalar.

\vec a\cdot\vec b = \vec b\cdot\vec a = \left |\vec a\right |\left |\vec b\right |\cos\phi

Skalarni proizvod vektora sa samim sobom daje kvadrat njegove dužine, jer je u tom slučaju kosinus jednak 1. Skalarni proizvod vektora koji su pod pravim uglom (90°) jednak je 0, jer je kosinus pravog ugla 0.

Skalarni proizvod je komutativan, distributivan i linearan.

Definicija i primjer[uredi | uredi izvor]

Definicija skalarnog proizvoda vektora a = [a1, a2, … , an] i vektora b = [b1, b2, … , bn] :

\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n
  • gdje Σ označava sabiranje po komponentama.

Primjer skalarnog množenja na trodimenzionalnom vektoru [1, 3, −5] i [4, −2, −1]:

\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}4&-2&-1\end{bmatrix} = (1)(4) + (3)(-2) + (-5)(-1) = 3.

Za dva kompleksna kolonska vektora, skalarni proizvod je definisan kao

\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum{\overline{b_i} a_i}

gdje je

\overline{b_i}

konjugovano kompleksan broj od b_i; uočite da, u slučaju kompleksnih brojeva, imamo da je

 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \overline{\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}}

Skalarni proizvod primjenljuje se na vektore iz ortonormalnih vektorskih prostora. Njegova generalizacija na neortonormalne vektorske prostore opisana je ispod.

Geometrijska interpretacija[uredi | uredi izvor]

S obzirom da znamo da je skalarni umnožak i umnožak sa uglom između dva vektora, možemo inverznom operacijom izračunati i ugao.

 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \, \Longrightarrow \theta =  \arccos \left( \frac {\bold{a}\cdot\bold{b}} {|\bold{a}||\bold{b}|}\right).

Dokaz geometrijske intepretacije[uredi | uredi izvor]

Razmotrimo vektor

 \mathbf{v} = v_1 \mathbf{i} + v_2 \mathbf{j} + v_3 \mathbf{k}. \,

Uzastopnom upotrebom Pitagorinog teorema dobijamo jegovu dužinu v

 v^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2. \,

Dobijeno je isto kao i

 \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2, \,

tako da zaključujemo da ćemo, ako skalarno pomnožimo vektor v sa samim sobom, dobiti njegovu dužinu na kvadrat.

Lema 1
 \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = v^2. \,

Sada razmatrajmo dva vektora a i b koji potiču iz istog ishodišta, a koje odvaja ugao θ. Treće vektor c može se definisati kao

 \mathbf{c} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \mathbf{a} - \mathbf{b}. \,

tvoreći trougao sa stranicama a, b i c. Prema kosinusnom teoremu, imamo da je

 c^2 = a^2 + b^2 - 2 ab \cos \theta. \,

Zamjenom skalarnog proizvoda za kvadrat dužine prema lemi 1, dobijamo


  \mathbf{c} \cdot \mathbf{c} 
= \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} 
+ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} 
- 2 ab \cos\theta. \,
                  (1)

Ali pošto je cab, također imamo da je


  \mathbf{c} \cdot \mathbf{c} 
= (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \,,

što je, prema pravilu distributivnosti, prošireno na


  \mathbf{c} \cdot \mathbf{c} 
= \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} 
+ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} 
-2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}). \, 
                    (2)

Izjednačavanjem dvije cc jednačine, (1) i (2), dobijamo


  \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} 
+ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} 
-2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) 
= \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} 
+ \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} 
- 2 ab \cos\theta. \,

Oduzimanjem aa + bb sa obje strane i dijeljenjem sa −2 ostavlja nam

 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = ab \cos\theta. \,

Q.E.D.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Commons logo
U Wikimedijinom spremniku se nalazi još materijala vezanih uz: