Spisak matematičkih redova

Ovaj spisak matematičkih redova sadrži formule za konačne i beskonačne sume. Može se koristiti zajedno sa drugim alatima za izračunavanje suma.

Sume stepeni

• $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}\,\!$
• $\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6} \,\!$
• $\sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^4}{4} + \frac{n^3}{2} + \frac{n^2}{4} = \left[\sum_{i=1}^n i\right]^2\,\!$
• $\sum_{i=1}^{n} i^{4} = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}\,\!$
• $\sum_{i=0}^n i^s = \frac{(n+1)^{s+1}}{s+1} + \sum_{k=1}^s\frac{B_k}{s-k+1}{s\choose k}(n+1)^{s-k+1}\,\!$

gdje je $B_k$ k-ti Bernoullijev broj.

• $\sum_{i=1}^\infty i^{-s} = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} = \zeta(s)\,\!$

gdje je $\zeta(s)$ Riemannova zeta funkcija.

Potencijalni redovi

Beskonačna suma (za $|x| < 1$)	Konačna suma
$\sum_{i=0}^\infty x^i= \frac{1}{1-x}\,\!$	$\sum_{i=0}^n x^i = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} = 1+\frac{1}{r}(1-\frac{1}{(1+r)^n})$ gdje je $r>0$ i $x=\frac{1}{1+r}.\,\!$
$\sum_{i=0}^\infty x^{2i}= \frac{1}{1-x^2}\,\!$
$\sum_{i=1}^\infty i x^i = \frac{x}{(1-x)^2}\,\!$	$\sum_{i=1}^n i x^i = x\frac{1-x^n}{(1-x)^2} - \frac{n x^{n+1}}{1-x}\,\!$
$\sum_{i=1}^{\infty} i^2 x^i =\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}\,\!$	$\sum_{i=1}^n i^2 x^i = \frac{x(1+x-(n+1)^2x^n+(2n^2+2n-1)x^{n+1}-n^2x^{n+2})}{(1-x)^3} \,\!$
$\sum_{i=1}^{\infty} i^3 x^i =\frac{x(1+4x+x^2)}{(1-x)^4}\,\!$
$\sum_{i=1}^{\infty} i^4 x^i =\frac{x(1+x)(1+10x+x^2)}{(1-x)^5}\,\!$
$\sum_{i=1}^{\infty} i^k x^i = \operatorname{Li}_{-k}(x),\,\!$ gdje je Lis(x) polilogaritam od x.

Jednostavni nazivnici

• $\sum^{\infty}_{i=1} \frac{x^i}i = \log_e\left(\frac{1}{1-x}\right) \quad\mbox{ za } |x|\le 1, \, x\not= 1\,\!$

• $\sum^{\infty}_{i=0} \frac{(-1)^i}{2i+1} x^{2i+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots = \arctan(x)\,\!$

• $\sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^{2i+1}}{2i+1} = \mathrm{arctanh} (x) \quad\mbox{ za } |x| < 1\,\!$

• $\sum^{\infty}_{i=1} \frac{1}{i^2} = \frac{\pi^2}{6}\,\!$

Nazivnici sa faktorijelima

Mnogi potencijalni redovi, koji se dobijaju iz Taylorovog teorema imaju koeficijent koji sadrži faktorijel.

• $\sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^i}{i!} = e^x$

• $\sum^{\infty}_{i=0} i \frac{x^i}{i!} = x e^x$ (sredina Poissonove distribucije)
• $\sum^{\infty}_{i=0} i^2 \frac{x^i}{i!} = (x + x^2) e^x$ (Drugi moment Poissonove distribucije)
• $\sum^{\infty}_{i=0} i^3 \frac{x^i}{i!} = (x + 3x^2 + x^3) e^x$
• $\sum^{\infty}_{i=0} i^4 \frac{x^i}{i!} = (x + 7x^2 + 6x^3 + x^4) e^x$

• $\sum^{\infty}_{i=0} \frac{(-1)^i}{(2i+1)!} x^{2i+1}= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = \sin x$

• $\sum^{\infty}_{i=0} \frac{(-1)^i}{(2i)!} x^{2i} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \cos x$

• $\sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!} = \sinh x$

• $\sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^{2i}}{(2i)!} = \cosh x$

Modifikovani nazivnici sa faktorijelima

• $\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} = \arcsin x\quad\mbox{ za } |x| < 1\!$

• $\sum^{\infty}_{i=0} \frac{(-1)^i (2i)!}{4^i (i!)^2 (2i+1)} x^{2i+1} = \mathrm{arcsinh}(x) \quad\mbox{ za } |x| < 1\!$

Binomni red

Binomni red (uključujući kvadratni korjen za $\alpha = 1/2$ i beskonačni geometrijski red za $\alpha = -1$):

Kvadratni korjen:

• $\sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n \quad\mbox{ za } |x|<1\!$

Geometrijski red:

• $(1+x)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n \quad\mbox{ za } |x|<1$

Opći oblik:

• $(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n} x^n\quad\mbox{ za sve } |x| < 1 \mbox{ i sve kompleksne brojeve } \alpha\!$

sa uopćenim binomnim koeficijentima

${\alpha\choose n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\!$

• $\sum_{i=0}^\infty {i+n \choose i} x^i = \frac{1}{(1-x)^{n+1}}$
• $\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i+1}{2i \choose i} x^i = \frac{1}{2x}(\sqrt{1-4x})$
• $\sum_{i=0}^\infty {2i \choose i} x^i = \frac{1}{\sqrt{1-4x}}$
• $\sum_{i=0}^\infty {2i + n \choose i} x^i = \frac{1}{\sqrt{1-4x}}\left(\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\right)^n$

Binomni koeficijenti

• $\sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^n$
• $\sum_{i=0}^n {n \choose i}a^{(n-i)} b^i = (a + b)^n$
• $\sum_{i=0}^n (-1)^i{n \choose i} = 0$
• $\sum_{i=0}^n {i \choose k} = { n+1 \choose k+1 }$
• $\sum_{i=0}^n {k+i \choose i} = { k + n + 1 \choose n }$
• $\sum_{i=0}^r {r \choose i}{s \choose n-i} = {r + s \choose n}$

Trigonometrijske funkcije

Sume sinusa i kosinusa dobijaju se iz Fourierovih redova.

• $\sum_{i=1}^n \sin\left(\frac{i\pi}{n}\right) = 0$
• $\sum_{i=1}^n \cos\left(\frac{i\pi}{n}\right) = 0$

Neklasifikovani

• $\sum_{n=b+1}^{\infty} \frac{b}{n^2 - b^2} = \sum_{n=1}^{2b} \frac{1}{2n}$

Također pogledajte

• Red (matematika)
• Spisak integrala
• Sumiranje
• Taylorov red
• Binomni teorem

Reference

• Mnogo knjiga sa spiskovima integrala, također imaju spiskove redova.