Spisak matematičkih redova

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži

Ovaj spisak matematičkih redova sadrži formule za konačne i beskonačne sume. Može se koristiti zajedno sa drugim alatima za izračunavanje suma.

Sume stepeni[uredi | uredi izvor]

  • \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}\,\!
  • \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}  \,\!
  • \sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^4}{4} + \frac{n^3}{2} + \frac{n^2}{4} = \left[\sum_{i=1}^n i\right]^2\,\!
  • \sum_{i=1}^{n} i^{4} = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}\,\!
  • \sum_{i=0}^n i^s = \frac{(n+1)^{s+1}}{s+1} + \sum_{k=1}^s\frac{B_k}{s-k+1}{s\choose k}(n+1)^{s-k+1}\,\!
gdje je B_k k-ti Bernoullijev broj.
  • \sum_{i=1}^\infty i^{-s} = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} = \zeta(s)\,\!
gdje je \zeta(s) Riemannova zeta funkcija.

Potencijalni redovi[uredi | uredi izvor]

Beskonačna suma (za |x| < 1) Konačna suma
\sum_{i=0}^\infty x^i= \frac{1}{1-x}\,\! \sum_{i=0}^n x^i = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} = 1+\frac{1}{r}(1-\frac{1}{(1+r)^n}) gdje je r>0 i x=\frac{1}{1+r}.\,\!
\sum_{i=0}^\infty x^{2i}= \frac{1}{1-x^2}\,\!
\sum_{i=1}^\infty i x^i = \frac{x}{(1-x)^2}\,\! \sum_{i=1}^n i x^i = x\frac{1-x^n}{(1-x)^2} - \frac{n x^{n+1}}{1-x}\,\!
\sum_{i=1}^{\infty} i^2 x^i =\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}\,\! \sum_{i=1}^n i^2 x^i = \frac{x(1+x-(n+1)^2x^n+(2n^2+2n-1)x^{n+1}-n^2x^{n+2})}{(1-x)^3} \,\!
\sum_{i=1}^{\infty} i^3 x^i =\frac{x(1+4x+x^2)}{(1-x)^4}\,\!
\sum_{i=1}^{\infty} i^4 x^i =\frac{x(1+x)(1+10x+x^2)}{(1-x)^5}\,\!
\sum_{i=1}^{\infty} i^k x^i
 = \operatorname{Li}_{-k}(x),\,\! gdje je Lis(x) polilogaritam od x.

Jednostavni nazivnici[uredi | uredi izvor]

  • \sum^{\infty}_{i=1} \frac{x^i}i = \log_e\left(\frac{1}{1-x}\right) \quad\mbox{ za } |x|\le 1, \, x\not= 1\,\!
  • \sum^{\infty}_{i=0} \frac{(-1)^i}{2i+1} x^{2i+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots = \arctan(x)\,\!
  • \sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^{2i+1}}{2i+1} = \mathrm{arctanh} (x) \quad\mbox{ za } |x| < 1\,\!
  • \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1}{i^2} = \frac{\pi^2}{6}\,\!

Nazivnici sa faktorijelima[uredi | uredi izvor]

Mnogi potencijalni redovi, koji se dobijaju iz Taylorovog teorema imaju koeficijent koji sadrži faktorijel.

  • \sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^i}{i!} = e^x


  • \sum^{\infty}_{i=0} \frac{(-1)^i}{(2i+1)!} x^{2i+1}=  x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = \sin x
  • \sum^{\infty}_{i=0} \frac{(-1)^i}{(2i)!} x^{2i} =  1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \cos x
  • \sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!} = \sinh x
  • \sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^{2i}}{(2i)!} = \cosh x

Modifikovani nazivnici sa faktorijelima[uredi | uredi izvor]

  • \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} = \arcsin x\quad\mbox{ za } |x| < 1\!
  • \sum^{\infty}_{i=0} \frac{(-1)^i (2i)!}{4^i (i!)^2 (2i+1)} x^{2i+1} = \mathrm{arcsinh}(x) \quad\mbox{ za } |x| < 1\!

Binomni red[uredi | uredi izvor]

Binomni red (uključujući kvadratni korjen za \alpha = 1/2 i beskonačni geometrijski red za \alpha = -1):

Kvadratni korjen:

  • \sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n \quad\mbox{ za } |x|<1\!

Geometrijski red:

  • (1+x)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n \quad\mbox{ za } |x|<1

Opći oblik:

  • (1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n} x^n\quad\mbox{ za sve } |x| < 1 \mbox{ i sve kompleksne brojeve } \alpha\!
sa uopćenim binomnim koeficijentima
{\alpha\choose n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\!

Binomni koeficijenti[uredi | uredi izvor]

  • \sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^n
  • \sum_{i=0}^n {n \choose i}a^{(n-i)} b^i = (a + b)^n
  • \sum_{i=0}^n (-1)^i{n \choose i} = 0
  • \sum_{i=0}^n {i \choose k} = { n+1 \choose k+1 }
  • \sum_{i=0}^n {k+i \choose i} = { k + n + 1 \choose n }
  • \sum_{i=0}^r {r \choose i}{s \choose n-i} = {r + s \choose n}

Trigonometrijske funkcije[uredi | uredi izvor]

Sume sinusa i kosinusa dobijaju se iz Fourierovih redova.

  • \sum_{i=1}^n \sin\left(\frac{i\pi}{n}\right) = 0
  • \sum_{i=1}^n \cos\left(\frac{i\pi}{n}\right) = 0

Neklasifikovani[uredi | uredi izvor]

  • \sum_{n=b+1}^{\infty} \frac{b}{n^2 - b^2} = \sum_{n=1}^{2b} \frac{1}{2n}

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Zabilješke[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]