Spisak vektorskih identiteta

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Wiki letter w.svg Ovaj članak je siroče zato što nema ili vrlo malo ima drugih članaka koji linkuju ovamo.
Molimo Vas da postavite linkove prema ovoj stranici sa srodnih članaka(23-02-2012)

Ovaj članak je spisak nekoliko korisnih matematičkih identiteta koji se koriste u vektorskoj algebri.

Trostruki proizvodi[uredi | uredi izvor]

  • \vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = (\vec{C} \times \vec{B}) \times \vec{A} = \vec{B}(\vec{A} \cdot \vec{C}) - \vec{C}(\vec{A} \cdot \vec{B})
  • \vec{A}\cdot(\vec{B}\times \vec{C}) = \vec{B}\cdot(\vec{C}\times \vec{A}) = \vec{C}\cdot(\vec{A}\times \vec{B})

koje se mogu dokazati dajući proizvoljne komponente A, B, and C,

\vec{A} = (a_x, a_y, a_z)
\vec{B} = (b_x, b_y, b_z)
\vec{C} = (c_x, c_y, c_z)

te računajući vrijednosti svakog iskaza, kao što je \vec{B}\times \vec{C}, će pokazati da su obe strane jednačine jednake.

Ostali proizvodi[uredi | uredi izvor]

Pravila proizvoda[uredi | uredi izvor]

  • \vec{\nabla} (fg) = f(\vec{\nabla}g) + g(\vec{\nabla} f)
  • \vec{\nabla}(\vec{A} \cdot \vec{B}) = \vec{A} \times (\vec{\nabla} \times \vec{B})+\vec{B} \times (\vec{\nabla} \times \vec{A})+(\vec{A} \cdot \vec{\nabla})\vec{B}+(\vec{B} \cdot \vec{\nabla})\vec{A}
  • \vec{\nabla} \cdot (f\vec{A})=f(\vec{\nabla} \cdot \vec{A})+\vec{A} \cdot (\vec{\nabla} f)
  • \vec{\nabla} \cdot (\vec{A} \times \vec{B})=\vec{B} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{A})-\vec{A} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{B})
  • \nabla\times (\vec{A}\times\vec{B})= (\vec{B}\cdot\nabla) \vec{A}-(\vec{A}\cdot\nabla)\vec{B} + \vec{A} (\nabla\cdot\vec{B}) - \vec{B}(\nabla\cdot\vec{A})
  • \nabla\times (\vec{A}\times\vec{B})= \vec{A} \times (\nabla\times\vec{B}) - \vec{B} \times (\nabla\times\vec{A}) - (\vec{A}\times\nabla) \times \vec{B} + (\vec{B}\times\nabla) \times \vec{A}
  • \nabla\times (f\vec{A})=f(\nabla\times\vec{A})+(\nabla f)\times\vec{A}

Greenov prvi identitet[uredi | uredi izvor]

  •  \vec{\nabla} \cdot \left( f \vec{\nabla} f \right) = f \vec{\nabla} \cdot \left( \vec{\nabla} f \right) + \left( \vec{\nabla} f \cdot \vec{\nabla} f \right) = f \nabla^2 f + \left( \vec{\nabla} f \cdot \vec{\nabla} f \right)
    therefore
     f \nabla^2 f = \vec{\nabla} \cdot \left( f \vec{\nabla} f \right) - \left( \vec{\nabla} f \cdot \vec{\nabla} f \right)

Fundametnalni teoremi[uredi | uredi izvor]

Teorem divergencije

  • \int_{V} (\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) \,dv = \oint_{S} \vec{A} \cdot d\vec{a}

Stokesov teorem

  •  \int_{S} (\nabla \times \vec{A}) \cdot d\vec{a} = \oint_{C} \vec{A} \cdot d\vec{l}

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]