Stokesovo strujanje

Predmet, koji se kreće kroz tečnost, suočava se sa silom suprotnom smijeru njegovog kretanja. Terminalna brzina se dostiže kada je sila otpora jednaka po intenzitetu, ali suprotna po pravcu sili koja pogoni predmeta. Na slici je prikazana sfera u Stokesovom strujanju, sa veoma malim Reynoldsovim brojem.

Stokesovo strujanje (nazvano po Georgeu Gabrielu Stokesu) je vrsta strujanja fluida gdje su advektivne inercijalne sile male naspram viskoznih sila. Reynoldsov broj je nizak, odnosno ${\textit {Re}}\ll 1$. Ovo je tipična situacija kod strujanja gdje su brzine fluida niske, viskoznosti su veoma velike.

Stokesove jednačine

Za ovu vrstu strujanja, za inercijalne sile se pretpostavlja da su zanemarive, te pojednostavljenjem Navier–Stokesovih jednačina, dobijamo Stokesove jednačine:

${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbb {P} +{\boldsymbol {f}}=0$

gdje je $\mathbb {P}$ uzdužni tenzor napona, a ${\boldsymbol {f}}$ su primijenjene masene sile. Postoji, također, jednačina za održanje mase. U slučaju nestišljivog newtonovog fluida, Stokesove jednačine glase:

${\boldsymbol {\nabla }}p=\mu \nabla ^{2}{\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {f}}$

${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {u}}=0$

Metode rješavanja

Pomoću strujnih funkcija

Može se pokazati da u ravni (2D), strujna funkcija nestišljivog Newton-Stokesovog strujanja zadovoljava biharmonijsku jednačinu $\nabla ^{4}\psi =0$.

U osno-simetričnom, 3D slučaju, Stokesova strujna funkcija $\Psi$ rješava jednačinu $E^{2}\Psi =0$, gdje je $E={\partial ^{2} \over \partial r^{2}}+{\sin {\theta } \over r^{2}}{\partial \over \partial \theta }{1 \over \sin {\theta }}{\partial \over \partial \theta }.$

Pomoću Papković-Neuberovog rješenja

Papković-Neuberovo rješenje predstavlja polja brzine i pritiska nestišljivog Newton-Stokesovog strujanja u smislu dva harmonijska potencijala.

Pomoću metoda graničnih elemenata

Određeni problemi, kao što je izračunavanje oblika mjehurića u Stokesovom strujanju, su pogodni za numerička rješenja preko metoda graničnih elemenata. Ova tehnika može se primijeniti i na dvodimejnzionalna i na trodimenzionalna strujanja.

Greenova funkcija

Linearnost Stokesovih jednačina u slučaju nestišljivog newtonovog strujanja fluida znači da se može naći Greenova formula za date jednačine. Rješenja za pritisak $p$ i brzinu ${\boldsymbol {u}}$ zbog sile u tački (${\boldsymbol {F}}\delta ({\boldsymbol {x}})$) koja djeluje u ishodištu sa $|{\boldsymbol {u}}|,p\to 0$ kada $|{\boldsymbol {x}}|\to \infty$ je data sa

${\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {F}}\cdot \mathbb {J} ({\boldsymbol {x}})$

$p({\boldsymbol {x}})={\frac {{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {x}}}{4\pi |{\boldsymbol {x}}|^{3}}}$

gdje je

$\mathbb {J} ({\boldsymbol {x}})={1 \over 8\pi \mu }\left({\frac {\mathbb {I} }{|{\boldsymbol {x}}|}}+{\frac {{\boldsymbol {x}}{\boldsymbol {x}}}{|{\boldsymbol {x}}|^{3}}}\right).$

drugostepeni tenzor poznat kao Oseenov tenzor (nazvan po Carlu Wilhelmu Oseenu).

Rješenje raspodjele gustine sile ${\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {x}})$ (koja je jednaka buli kada se teži u beskonačnost) se može naporaviti pomoću superpozicije:

${\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}})=\int {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {y}})\cdot \mathbb {J} ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}})\,\mathrm {d} ^{3}\!y$

$p({\boldsymbol {x}})=\int {\frac {{\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {y}})\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}})}{4\pi |{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}}|^{3}}}\,\mathrm {d} ^{3}\!y$

Također pogledajte

• Darcyjev zakon
• Teorija lubrikacije
• Oseenove jednačine
• Teorija tankog tijela

Reference

• Happel, J. & Brenner, H. (1981) Low Reynolds Number Hydrodynamics, Springer. ISBN 90-01-37115-9.
• Kim, S. & Karrila, S. J. (2005) Microhydrodynamics: Principles and Selected Applications, Dover. ISBN 0-486-44219-5.
• Ockendon, H. & Ockendon J. R. (1995) Viscous Flow, Cambridge University Press. ISBN 0-521-45881-1.