Stokesovo strujanje

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Predmet, koji se kreće kroz tečnost, suočava se sa silom suprotnom smijeru njegovog kretanja. Terminalna brzina se dostiže kada je sila otpora jednaka po intenzitetu, ali suprotna po pravcu sili koja pogoni predmeta. Na slici je prikazana sfera u Stokesovom strujanju, sa veoma malim Reynoldsovim brojem.

Stokesovo strujanje (nazvano po Georgeu Gabrielu Stokesu) je vrsta strujanja fluida gdje su advektivne inercijalne sile male naspram viskoznih sila. Reynoldsov broj je nizak, odnosno \textit{Re} \ll 1. Ovo je tipična situacija kod strujanja gdje su brzine fluida niske, viskoznosti su veoma velike.

Stokesove jednačine[uredi | uredi izvor]

Za ovu vrstu strujanja, za inercijalne sile se pretpostavlja da su zanemarive, te pojednostavljenjem Navier–Stokesovih jednačina, dobijamo Stokesove jednačine:

\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbb{P} + \boldsymbol{f} = 0

gdje je \mathbb{P} uzdužni tenzor napona, a \boldsymbol{f} su primijenjene masene sile. Postoji, također, jednačina za održanje mase. U slučaju nestišljivog newtonovog fluida, Stokesove jednačine glase:

\boldsymbol{\nabla}p = \mu \nabla^2 \boldsymbol{u} + \boldsymbol{f}
\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{u}=0

Metode rješavanja[uredi | uredi izvor]

Pomoću strujnih funkcija[uredi | uredi izvor]

Može se pokazati da u ravni (2D), strujna funkcija nestišljivog Newton-Stokesovog strujanja zadovoljava biharmonijsku jednačinu \nabla^4 \psi = 0.

U osno-simetričnom, 3D slučaju, Stokesova strujna funkcija \Psi rješava jednačinu E^2 \Psi = 0, gdje je E = {\partial^2 \over \partial r^2} + {\sin{\theta} \over r^2} {\partial \over \partial \theta} { 1 \over \sin{\theta}}  {\partial \over \partial \theta}.

Pomoću Papković-Neuberovog rješenja[uredi | uredi izvor]

Papković-Neuberovo rješenje predstavlja polja brzine i pritiska nestišljivog Newton-Stokesovog strujanja u smislu dva harmonijska potencijala.

Pomoću metoda graničnih elemenata[uredi | uredi izvor]

Određeni problemi, kao što je izračunavanje oblika mjehurića u Stokesovom strujanju, su pogodni za numerička rješenja preko metoda graničnih elemenata. Ova tehnika može se primijeniti i na dvodimejnzionalna i na trodimenzionalna strujanja.

Greenova funkcija[uredi | uredi izvor]

Linearnost Stokesovih jednačina u slučaju nestišljivog newtonovog strujanja fluida znači da se može naći Greenova formula za date jednačine. Rješenja za pritisak p i brzinu \boldsymbol{u} zbog sile u tački (\boldsymbol{F}\delta(\boldsymbol{x})) koja djeluje u ishodištu sa |\boldsymbol{u}|,p\to 0 kada |\boldsymbol{x}|\to\infty je data sa

\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{F} \cdot \mathbb{J}(\boldsymbol{x})
p(\boldsymbol{x}) = \frac{\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{x}}{4 \pi |\boldsymbol{x}|^3}

gdje je

\mathbb{J}(\boldsymbol{x}) = {1 \over 8 \pi \mu} \left( \frac{\mathbb{I}}{|\boldsymbol{x}|} + \frac{\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}}{|\boldsymbol{x}|^3} \right).

drugostepeni tenzor poznat kao Oseenov tenzor (nazvan po Carlu Wilhelmu Oseenu).

Rješenje raspodjele gustine sile \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) (koja je jednaka buli kada se teži u beskonačnost) se može naporaviti pomoću superpozicije:

\boldsymbol{u}(\boldsymbol{x}) = \int \boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}) \cdot \mathbb{J}(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{y}) \, \mathrm{d}^3\!y
p(\boldsymbol{x}) = \int \frac{\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y})\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})}{4 \pi |\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|^3} \, \mathrm{d}^3\!y

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  • Happel, J. & Brenner, H. (1981) Low Reynolds Number Hydrodynamics, Springer. ISBN 90-01-37115-9.
  • Kim, S. & Karrila, S. J. (2005) Microhydrodynamics: Principles and Selected Applications, Dover. ISBN 0-486-44219-5.
  • Ockendon, H. & Ockendon J. R. (1995) Viscous Flow, Cambridge University Press. ISBN 0-521-45881-1.