T-linijar (fraktal)

Za druga značenja pojma T-linijar (fraktal) pogledajte čvor članak.

T-linijar, osma iteracija

T-ravnalolinijar je fraktal fraktalne dimenzije 2, te prvi topološke dimenzije. Ime je dobio po crtaćem priboru.

Konstrukcija

Počnimo od kvadrata (zvat ćemo ga graničnim kvadratom), bijele boje na slici ispod, i od njega oduzmimo kvadrat upola kraće stranice smješten u sredinu graničnog kvadrata, crne boje (prva iteracija). Granični kvadrat podijelimo na četiri jednaka kvadrata i ponovimo postupak (druga iteracija). Svaki od ta četiri kvadrata podijelimo na još četiri itd. T-ravnalomlinijarom zovemo granicu crne i bijele površine.

Osobine

T-ravnalo je beskonačno duga kriva, ali ona okružuje konačnu površinu. Dužina krive nakon prve iteracije jest 4, ako uzmemo da granični kvadrat (vidi iznad) ima dimenzije 2 × 2, a površina 1. Nakon prve iteracije od prvog kvadrata ostaju 4 dužine dužine po $\frac{1}{2}$ te se dodaju još 4 kvadrata s dvije stranice dužine $\frac{1}{2}$ i dvije deljine $\frac{1}{4}$, pa je to $2 + 6 = 8$. Površina se poveća za $\frac{3}{4}$ (četiri dodatna kvadrata površine $\frac{1}{4}$, ali bez svoje jedne četvrtine). Nakon druge iteracije, dužina krive jest 2 od prvog kvadrata, 3 od kvadratâ iz prve iteracije (od svakog od četiri kvadrata ostaje $\frac{3}{4}$) te 9 od novih kvadrata (dužina granice svakog od 12 kvadrata jest $\frac{3}{4}$), dakle $2 + 3 + 9 = 14$. Površina se povećava za $\frac{9}{16}$ (svaki od 12 kvadrata ima površinu $\frac{3}{64}$). Prema tome, nakon beskonačnog broja iteracija, dužina krive je beskonačna, a površina, prema formuli za sumu geometrijskog reda, četiri puta veća od prvog kvadrata, odnosno jednaka površini graničnog kvadrata:

$1 + \frac{3}{4} + \frac{9}{16} + \cdots = \frac{1}{1-\frac{3}{4}} = 4$.

Također pogledajte

• Fraktal
• Beskonačno guste krive