Tačka, prava i ravan

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Tačka, prava i ravan su osnovni pojmovi geometrije. Neka su prava i ravan skupovi tačaka. Oni se ne definišu i njihove osobine daju se aksiomima.

Aksiomi prave[uredi | uredi izvor]

  1. Svake dvije različite tačke pripadaju jednoj i samo jednoj pravoj
  2. Svaka prava sadrži najmanje dvije zajedničke tačke.
  3. Postoje tri nekolinearne tačke

Dvije tačke su uvijek kolinearne

Presjek dvije prave[uredi | uredi izvor]

Za dvije prave koje imaju jednu zajedničku tačku kažemo da se sijeku. Zajednička tačka te dvije prave naziva se sjecište ili presječna tačka. a ∩ b={C}

Kolinearne i nekolinearne tačke[uredi | uredi izvor]

Za tačke koje leže na jednoj pravoj kažemo da su kolinearne tačke. Za tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj kažemo da su nekolinearne. Postoje tri nekolinearne tačke

Posljedice[uredi | uredi izvor]

1.Dvije različite prave imaju najviše jednu zajedničku tačku

2.Van svake dvije prave postoji bar jedna tačka.

Paralelne i mimoilazne prave[uredi | uredi izvor]

Za dvije prave koje leže u jednoj ravni i nemaju zajedničkih tačaka kažemo da su paralelne. Za prave koje ne leže u jednoj ravni kažemo da su mimoilazne.


Za dvije prave a i b važi:

  1. Ako je a ∩ b={A,B}=> a=b
  2. Ako je a ∩ b={A} sijeku se
  3. Ako a i b nemaju zajedničkih tačaka a ║ b

Udaljenost paralelnih pravi[uredi | uredi izvor]

Neka je data tačka M jedne prave i njena projekcije M' na drugu pravu Traži se njena projekcija


M' = B + k\overrightarrow{v}, k \in R\;\land\; AA' \bot v.

Iz navedenih uslova određujemo koeficijent k, а sа njime određenoje i M'. Udaljenost tačaka M i M' je јеdnaka udaljenosti između paralelnih pravi a i b.

U trodimenzionalnom prostoru ova udaljenost je jednaka visini paralelograma kojeg čine vektori \overrightarrow{AB} i \overrightarrow{v}. , a dobije se kao količnik površine ovog paralelograma (intenzitet vektorskog proizvoda) i intenzitet vektora v.

d(a,b) = \frac{|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{v}|}

Udaljenost mimoilaznih pravi[uredi | uredi izvor]

Da bi se odredila udaljenost dvije mimoilazne prave treba predstaviti vektor između njih, a zatim da se odrede parametri za koje će on biti minimalan. Neka je ovaj vektor w, a opšte tačke pravih a i b su M i N.odnosno biće:

M = A + \alpha v = (A_1+\alpha  v_1, A_2+\alpha v_2,...,A_n+ \alpha v_n), \alpha \in R N = B + \beta u, \beta \in R

intenzitet vektora \overrightarrow{AB} je |\overrightarrow{AB}| = f(\alpha,\beta) = \sqrt{(A_1+\alpha v_1- B_1-\beta u_1)^2 + \dots + (A_n+\alpha v_n- B_n-\beta u_n)^2 }. Ovdje korijen ne utiče na vrijednost na koju parametri i α i β imaju za maximalnu vrijednost izraza korijen se može izbaciti. Sada ćemo odrediti prve izvode izraza f(\alpha,\beta) pо α i po β. Dobijamo sistem dvije jednačine sa dvije nepoznate α i β, koji možemo riješiti.

\begin{cases} f(\alpha,\beta)'_\alpha \\
f(\alpha,\beta)'_\beta \end{cases}

Određujemo α и β i vrijednosti uvrstimo u jednačine prave a i b, Ove koordinate će predstavljati tačke, nazovimo ih M_0 i N_0, d(a,b) = d(M_0,N_0).

Aksiom uređenosti prave[uredi | uredi izvor]

Prava je na određen način uređen skup

1.Za tačke X,Y prave a važi X <Y ili Y<X (potpunost)

2.Ako je X <Y onda nije Y<X (antisimetričnost)


3.Ako je (X<Y) i( Y<Z) =>X<Z (tranzitivnost)

4.Za tačku Y prave a postoje tačke X i Z na a tako da je X<Y i Y<Z( produžavanje prave)

5.Za X i Z prave a postoji tačka Y takva da je X <Y( gusto uređen skup)


Dedekindov aksiom[uredi | uredi izvor]

Ako sve tačke prave podijelimo u dvije neprazne klase tako da je svaka klasa prve klase ispred svake tačke druge klase onda ili prva klasa ima svoju poslednju ili druga klasa svoju prvu tačku

Ravan[uredi | uredi izvor]

Ravan je određena sa aksiomama.


Aksiomi ravni

  1. Svake tri nekolinearne tačke pripadaju jednoj i samo jednoj ravni.
  2. Svaka ravan sadrži najmanje tri nekolinearne tačke.
  3. Postoje 4 tačke koje ne pripadaju jednoj ravni

Komplanarne i nekomplanarne tačke[uredi | uredi izvor]

Za tačke koje leže u jednoj ravni kažemo da su komplanarne. Za 4 tačke koje ne leže u jednoj ravni kažemo da su nekomplanarne.

Aksiom prave i ravni[uredi | uredi izvor]

Ako ravan sadrži dvije različite tačke jedne prave onda ona sadrži tu pravu.

Posljedica[uredi | uredi izvor]

Ravan i prava koja ne leži u toj ravni mogu imati najviše jednu zajedničku

Teoreme o određenosti ravni[uredi | uredi izvor]

Teorema 1[uredi | uredi izvor]

Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži dvije prave koje se sijeku.

Teorema 2[uredi | uredi izvor]

Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži datu pravu i datu tačku koja ne pripada toj pravoj.

Teorma 3[uredi | uredi izvor]

Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži dvije paralelne prave

Aksiom dviju ravni[uredi | uredi izvor]

Presjek dviju različitih ravni je prava.

Međusobni položaj prave i ravni[uredi | uredi izvor]

a i α imaju bar dvije zajedničke tačke, onda a leži u α

a i α imaju jednu zajedničke tačke, onda prava a siječe ravan α


a i α nemaju zajedničkih tačaka, onda je prava a paralelna sa ravni α



E-to-the-i-pi.svg Nedovršeni članak Tačka, prava i ravan koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.