Tabela integrala

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Teme u kalkulusu

Fundamentalni teorem
Limesi funkcija
Kontinuitet
Teorem srednje vrijednosti

Ovaj članak prikazuje spisak nekih najčešćih antiderivacija; kompletniju listu možete pronaći na članku spisak integrala.

Osnovna pravila integriranja[uredi | uredi izvor]

\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ constant)}\,\!
\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx
\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx
\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(for } n\neq -1\mbox{)}\,\!
\int  {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C
\int  {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C

Integrali prostih funkcija[uredi | uredi izvor]

Racionalne funkcije[uredi | uredi izvor]

Više na: Spisak integrala racionalnih funkcija
\int \,{\rm d}x = x + C
\int x^n\,{\rm d}x =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ if }n \ne -1
\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C
\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C

Iracionalne funkcije[uredi | uredi izvor]

Više na: Spisak integrala iracionalnih funkcija
\int {dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1} {x \over a} + C
\int {-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \cos^{-1} {x \over a} + C
\int {dx \over x \sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a} \sec^{-1} {|x| \over a} + C

Logaritmi[uredi | uredi izvor]

Više na: Spisak integrala logaritamskih funkcija
\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C
\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C

Eksponencijalne funkcije[uredi | uredi izvor]

Više na: Spisak integrala eksponencijalnih funkcija
\int e^x\,dx = e^x + C
\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C

Trigonometrijske funkcije[uredi | uredi izvor]

Više na: Spisak integrala trigonometrijskih funkcija i Spisak integrala arkusnih funkcija
\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C
\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C
\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C
\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C
\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C
\int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C
\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C
\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C
\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = - \csc{x} + C
\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C
\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C
\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx
\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx
\int \tan^{-1}{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C

Hiperboličke funkcije[uredi | uredi izvor]

Više na: Spisak integrala hiperboličkih funkcija
\int \sinh x \, dx = \cosh x + C
\int \cosh x \, dx = \sinh x + C
\int \tanh x \, dx = \ln |\cosh x| + C
\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C
\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C
\int \coth x \, dx = \ln|\sinh x| + C

Inverzne hiperboličke funkcije[uredi | uredi izvor]

\int \sinh^{-1} x \, dx  = x \sinh^{-1} x - \sqrt{x^2+1} + C
\int \cosh^{-1} x \, dx  = x \cosh^{-1} x+ \sqrt{x^2-1} + C
\int \tanh^{-1} x \, dx  = x \tanh^{-1} x+ \frac{1}{2}\log{(1-x^2)} + C
\int \mbox{csch}^{-1}\,x \, dx = x \mbox{csch}^{-1}\ x+ \log{\left[x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1\right)\right]} + C
\int \mbox{sech}^{-1}\,x \, dx = x \mbox{sech}^{-1}\ x- \tan^{-1}{\left(\frac{x}{x-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)} + C
\int \coth^{-1} x \, dx  = x \coth^{-1} x+ \frac{1}{2}\log{(x^2-1)} + C

Određeni nepravi integrali[uredi | uredi izvor]

Postoje funkcije čiji se integrali ne mogu predstaviti u zatvorenom intervalu (integral [a,b]).

\int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi (također pogledajte Gama funkcija)
\int_0^\infty{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi (Gausov integral)
\int_0^\infty{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6} (također pogledajte Bernulijev broj)
\int_0^\infty{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}
\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}
\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot n}\frac{\pi}{2} (if n is an even integer and   \scriptstyle{n \ge 2})
\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cdots \cdot n} (if  \scriptstyle{n} is an odd integer and   \scriptstyle{n \ge 3} )
\int_0^\infty  x^{z-1}\,e^{-x}\,dx = \Gamma(z) (gdje je \Gamma(z) gama funkcija)
\int_{-\infty}^\infty e^{-(ax^2+bx+c)}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\exp\left[\frac{b^2-4ac}{4a}\right] (gdje je \exp[u] eksponencijalna funkcija e^u.)
\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi I_{0}(x) (gdje je I_{0}(x) modificirana Beselova funkcija prve vrste)
\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_{0} \sqrt{x^2 + y^2}

"Sofomorov san"[uredi | uredi izvor]

\sum_{n=1}^\infty n^{-n} = \int_0^1 x^{-x}\, dx\quad\quad(=1.291285997\dots)
\sum_{n=1}^\infty -(-1)^nn^{-n} = \int_0^1 x^{x}\, dx\quad\quad(= 0.783430510712\dots)

(Pogledajte Johann Bernoulli i sofomorov san).

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]