Teorem gradijenta

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Gradijentna teorema, poznata i po nazivu fundamentalna teorema matematičke analize za linijske integrale, kaže da se linijski integral kroz gradijentno polje (bilo koje konzervativno vektorsko polje može se izraziti kao gradijent) može izračunati izračunavanjem originalnog skalarnog polja na krajevima krive linije:

 \phi\left(\mathbf{q}\right)-\phi\left(\mathbf{p}\right) = \int_L \nabla\phi\cdot d\mathbf{r}

Gradijentna teorema implicira da su linijski integrali kroz konzervativno vektorsko polje nezavisni. U fizici ovaj teorem je jedan od načina za definisanje "konzervativne" sile. Stavljajući  \phi kao potencijal,  \nabla\phi je konzervativna sila. Rad konzervativne sile ne zavisi od pređenog puta tijela, nego samo od krajnjih tačaka, kako to gornja jednčina i pokazuje. Primjer ovakve sile je gravitacija.

Dokaz[uredi | uredi izvor]

Neka je  \phi 0-forma (skalarno polje).

Neka je L 1-segment (krive) od p do q.

Prema Stokesovom teoremu

 \int_{\partial L} \phi = \int_L d\phi

Međutim, pošto je  \partial L = \mathbf q - \mathbf p ,

 \phi\left(\mathbf{q}\right)-\phi\left(\mathbf{p}\right) = \int_L d\phi

Svođenjem krive na Euklidov prostor i proširivanjem na pravougle koordinate:

 d\phi = \sum_i \frac{\partial \phi}{\partial x_i} dx_i = \left(\frac{\partial}{\partial x_i}\right)\phi\cdot\left(dx_i\right) = \nabla\phi\cdot d\mathbf{r}

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]


E-to-the-i-pi.svg Nedovršeni članak Teorem gradijenta koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.