Test općeg člana

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži

U matematici, test divergencije n-tog člana[1] je jednostavan test divergencije beskonačnih redova:

  • Ako \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 ili ako limes ne postoji, tada red \sum_{n=1}^\infty a_n divergira.

Mnogi autori ne imenuju ovaj test ili mu samo daju kraći naziv.[2]

Upotreba[uredi | uredi izvor]

Za razliku od jačih testova konvergencije, test općeg člana ne može sam dokazati da red konvergira. To znači da suprotno od razultata testa nije nužno tačno; umjesto toga može se reći:

  • Ako je \lim_{n \to \infty} a_n = 0, tada red \sum_{n=1}^\infty a_n može, ali i ne mora konvergirati. Drugim riječima, ako je \lim_{n \to \infty} a_n = 0,, test je neodlučan.

Harmonijski red je klasičan primjer divergentnog reda čiji članovi teže u nula.[3] Općenitija klasa harmonijskih redova, tzv. hiperharmonijski red

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p},

pojašnjava razultate testa:

  • Ako je p ≤ 0, tada red divergira.
  • Ako je 0 < p ≤ 1, tada je test neodlučan, ali je red divergentan po integralnom testu konvergencije.
  • ako je 1 < p, tada je test neodlučan, ali je red konvergentan, ponovo po integralnom testu konvergencije.

Dokazi[uredi | uredi izvor]

Dokaz se dokazuje test kontrapozitivnom formom:

  • Ako red \sum_{n=1}^\infty a_n konvergira, tada je \lim_{n \to \infty} a_n = 0.

Manipulacija limesima[uredi | uredi izvor]

Ako su sn parcijalne sume reda, tada pretpostavka da red konvergira znači da je

\lim_{n\to\infty} s_n = s

za neki broj s. Tada vrijedi[4]

\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}(s_n-s_{n-1}) = s-s = 0.

Cauchyjev kriterij[uredi | uredi izvor]

Pretpostavka da red konvergira znači da je prošao Cauchyjev test konvergencije: Za svaki \varepsilon>0 postoji broj N takav da

|a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{n+p}|<\varepsilon

vrijedi za sve n > N i p ≥ 1. Slučaj p = 1 potvrđuje definiciju iskaza[5]

\lim_{n\to\infty} a_n = 0.

Domet[uredi | uredi izvor]

Najjednostavnija verzija test općeg člana primjenjuj se na beskonačne redove realnih brojeva.

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Kaczor p.336
  2. ^ Na primjer, Rudin (str. 60) iskazuje samo kontrapozitivnu formu i ne imenuje ga. Brabenec (str. 156) naziva ga samo test n-tog člana. Stewart (str. 709) naziva ga test divergencije.
  3. ^ Rudin p.60
  4. ^ Brabenec p.156; Stewart p.709
  5. ^ Rudin (pp.59-60) uses this proof idea, starting with a different statement of Cauchy criterion.