Test općeg člana

U matematici, test divergencije n-tog člana je jednostavan test divergencije beskonačnih redova:

• Ako $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$ ili ako limes ne postoji, tada red $\sum_{n=1}^\infty a_n$ divergira.

Mnogi autori ne imenuju ovaj test ili mu samo daju kraći naziv.

Upotreba

Za razliku od jačih testova konvergencije, test općeg člana ne može sam dokazati da red konvergira. To znači da suprotno od razultata testa nije nužno tačno; umjesto toga može se reći:

• Ako je $\lim_{n \to \infty} a_n = 0,$ tada red $\sum_{n=1}^\infty a_n$ može, ali i ne mora konvergirati. Drugim riječima, ako je $\lim_{n \to \infty} a_n = 0,$, test je neodlučan.

Harmonijski red je klasičan primjer divergentnog reda čiji članovi teže u nula. Općenitija klasa harmonijskih redova, tzv. hiperharmonijski red

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p},$

pojašnjava razultate testa:

• Ako je p ≤ 0, tada red divergira.
• Ako je 0 < p ≤ 1, tada je test neodlučan, ali je red divergentan po integralnom testu konvergencije.
• ako je 1 < p, tada je test neodlučan, ali je red konvergentan, ponovo po integralnom testu konvergencije.

Dokazi

Dokaz se dokazuje test kontrapozitivnom formom:

• Ako red $\sum_{n=1}^\infty a_n$ konvergira, tada je $\lim_{n \to \infty} a_n = 0.$

Manipulacija limesima

Ako su s_n parcijalne sume reda, tada pretpostavka da red konvergira znači da je

$\lim_{n\to\infty} s_n = s$

za neki broj s. Tada vrijedi

$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}(s_n-s_{n-1}) = s-s = 0.$

Cauchyjev kriterij

Pretpostavka da red konvergira znači da je prošao Cauchyjev test konvergencije: Za svaki $\varepsilon>0$ postoji broj N takav da

$|a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots+a_{n+p}|<\varepsilon$

vrijedi za sve n > N i p ≥ 1. Slučaj p = 1 potvrđuje definiciju iskaza

$\lim_{n\to\infty} a_n = 0.$

Domet

Najjednostavnija verzija test općeg člana primjenjuj se na beskonačne redove realnih brojeva.

Reference

• Brabenec, Robert (2005). Resources for the study of real analysis, MAA. ISBN 0883857375. ISBN 0883857375.
• Hansen, Vagn Lundsgaard (2006). Functional Analysis: Entering Hilbert Space, World Scientific. ISBN 9812565639. ISBN 9812565639.
• Kaczor, Wiesława and Maria Nowak (2003). Problems in Mathematical Analysis, American Mathematical Society. ISBN 0821820508. ISBN 0821820508.
• Rudin, Walter [1953] (1976). Principles of mathematical analysis, 3e, McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X. ISBN 0-07-054235-X.
• Stewart, James (1999). Calculus: Early transcendentals, 4e, Brooks/Cole. ISBN 0-534-36298-2. ISBN 0-534-36298-2.
• Șuhubi, Erdoğan S. (2003). Functional Analysis, Springer. ISBN 1402016166. ISBN 1402016166.