Vektorski kalkulus

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Teme u kalkulusu

Fundamentalni teorem
Limesi funkcija
Kontinuitet
Teorem srednje vrijednosti

Vektorski kalkulus 

Gradijent
Divergencija
Rotor
Laplasijan
Teorem gradijenta
Greenov teorem
Stokesov teorem
Teorem divergencije

Vektorski kalkulus (ili vektorska analiza) je grana matematike koja se bavi diferencijacijom i integracijom vektorskih polja. Termin "vektorski kalkulus" se ponekad koristi kao sinonim za širu oblast kalkususa više promjenljivih, koji uključuje cektorski kalkulus, kao i parcijalnu diferencijaciju i višestruku integraciju. Vektorski kalkulus igra značajnu ulogu u diferencijalnoj geometriji i proučavanju parcijalnih diferencijalnih jednačina. Jako mnogo se koristi u fizici i inženjerstvu, posebno u opisivanju elektromagnetnih polja, gravitacionih polja i strujanja fluida.

Vektorski kalkulus razvio se iz kvaternionske analize Josiaha Willard Gibbsa i Olivera Heavisidea krajem 19. vojeka, dok su većinu oznaka i terminologije uveli Gibbs i Wilson u njihovoj knjizi iz 1901. godine pod nazivom Vector Analysis.

Vektorske operacije[uredi | uredi izvor]

Vector calculus studies various differential operators defined on scalar or vector fields, which are typically expressed in terms of the del operator (\nabla). The four most important operations in vector calculus are:

Operacija Oznaka Opis Domen/Domet
Gradijent  \operatorname{grad}(f) = \nabla f Mjeri veličinu i pravac promjene skalarnog polja. Preslikava skalarna u vektorska polja.
Rotor  \operatorname{rot}(\mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{F} Mjeri tendenciju rotacije oko jedne tačke u vektorskom polje. Preslikava vektorska u vektorska polja.
Divergencija  \operatorname{div}(\mathbf{F}) = \nabla \cdot \mathbf{F} Mjeri intenzitet izvora ili ponora u datoj tački vektorskog polja. Preslikava vektorska u skalarna polja.
Laplasijan  \Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f Kompozicija operacija divergencije i gradijenta. Preslikava skalarna u skalarna polja.

Rotor i divergencija razlikuju, gdje prvi upotrebljava vektorski proizvod, a drugi skalarni proizvod, te gdje je f skalarno polje, a F vektorsko polje. Veličina, nazvana Jacobijan je korisna za proučavanje funkcija kada su i domen i radijus funkcije viševerijabilni, kao što je korisna promjena varijabli tokom integracije.

Teoremi[uredi | uredi izvor]

Također, postoji nekoliko važnih teorema vezanih za ove operacije, koje uopćuju fundamentalni teorem kalkulusa u više dimenzije:

Teorem Iskaz Opis
Teorem gradijenta  \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) = \int_L \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r}. Linijski integral kroz gradijent (vektorskog) polja jednak je razlici u njegovom skalarnom polju u krajnjim tačkama krive.
Greenov teorem \int_{C} \left( L\, dx + M\, dy \right) = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA Integral skalarnog rotora vektorskog polja, preko neke oblasti u ravni, jednake je linijskom integralu vektorskog polja preko krive koja ogranilava tu oblast.
Stokesov teorem  \int_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, Integral rotora vektorskog polja, preko površi, jednak je linijskom integralu vektorskog polja preko krive koja ograničava tu površ.
Teorem divergencije \iiint\limits_V\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dV=\iint\limits_{\part V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}, Integral divergencije vektorskoh polja, preko nekog čvrstog tijela, jednak je integralu fluksa kroz površinu koja ograničava to čvrsto tijelo.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]