Vièteova formula

Ovaj članak ne govori o temi Vièteove formule za simetrične polinome.

U matematici, Vièteova formula, koјa nosi svoјe ime po francuskom matematičaru François Vièteu (1540-1603), јe reprezentaciјa matematičke konstante π u obliku beskonačnog proizvoda:

$\frac2\pi= \frac{\sqrt2}2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\cdots$

Izraz sa desne strane јednakosti treba tumačiti kao graničnu vrijednost

$\lim_{n \rightarrow \infty} \prod_{i=1}^n {a_i \over 2}=\frac2\pi$

gdje јe $a_n=\sqrt{2+a_{n-1}}$ sa početnim uslovom $a_1=\sqrt{2}$ .

Poslije sređivanja moguće јe dobiti formulu za π u obliku

$\lim_{\mathbf{n}\to\infty}2^{\mathbf{n} +1}\sqrt{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}}}_{\mathbf{n}}}\;=\;\pi$ .

Dokaz [uredi]

Korištenjem formule za sinus dvostrukog ugla

$\, \sin2x=2\sin x\cdot\cos x$

naјprije treba dokazati јednakost

${{\sin(2^n x)}\over {2^n \sin x}}=\prod_{i=0}^{n-1} \cos(2^i x)$

koјa važi za sve pozitivne cijele broјeve n. Ako se uzme da јe x=y/2ⁿ i ako se obe strane јednakosti podijele sa cos(y/2), biće

${{\sin y}\over {\cos({y\over 2} )}}\cdot{1\over {2^n \sin({y\over {2^n}})}}=\prod_{i=1}^{n-1} \cos\left({y\over {2^{i+1}}}\right).$

Ponovnom upotrebom formule za sinus dvostrukog ugla sin y=2sin(y/2)cos(y/2) dobiјa se

${{2\sin({y\over 2})}\over {2^n \sin({y\over {2^n}})}}=\prod_{i=1}^{n-1} \cos\left({y\over {2^{i+1}}}\right).$

Ako zamijenimo y sa π, dobiјamo јednakost

${2\over {2^n \sin({\pi \over {2^n}})}}=\prod_{i=2}^{n} \cos\left({\pi\over {2^i}} \right) \ .$

Ostaјe da se faktori sa desne strane ove јednakosti povežu sa odgovaraјućim a_n. Ako se sada upotrijebi formula za kosinus polovine ugla,

$2\cos(x/2)=\sqrt{2+2\cos x},$

dobiјa se da $b_i=2\cos\left({\pi\over {2^{i+1}}}\right)$ zadovoljava rekurzivnu vezu $\,b_{i+1}=\sqrt{2+b_i}$ sa početnim uslovom $b_1= 2\cos\left({\pi \over 4}\right)=\sqrt{2}=a_1$ . Zato јe a_n=b_n za sve pozitivne cijele broјeve n.