Weierstrassov M-test

U matematici, Weierstrassov M-test je analogija testu poređenja za beskonačne redove, a primjenjuje se kod redova čiji su članovi funkcije sa realnim ili kompleksnim vrijednostima.

Pretpostavimo da je $\{f_{n}\}$ niz realnih ili kompleksnih vrijednosti funkcije definisan u skupu $A$, te da postoje pozitivne konstante $M_{n}$ takve da vrijedi

$|f_{n}(x)|\leq M_{n}$

za sve $n$≥$1$ i sve $x$ u $A$. Pretpostavimo, nadalje, da red

$\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$

konvergira. Tada, red

$\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)$

konvergira uniformno na $A$.

Općenitija verzija Weierstrassovog M-testa stoji ako je kodomen funkcija $\{f_{n}\}$ bilo koji Banachov prostor, u čijem slučaju se može iskaz

$|f_{n}|\leq M_{n}$

zamijeniti sa

$||f_{n}||\leq M_{n}$,

gdje je $||\cdot ||$ oznaka Banachovog prostora. Za primjer upotrebe ovog testa na Banachovom prostoru, pogledajte članak Fréchetova derijacija.

Dokaz

$S_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)$

$\sum _{n=1}^{\infty }M_{n}$ konvergira i M_n ≥ 0 za svako n, onda na osnovu Cauchyjevog testa konvergencije

$\forall \varepsilon >0:\exists N:\forall n>m>N:\sum _{k=m+1}^{n}M_{k}<\varepsilon .$

za izabrano N,

$\forall x\in A:\forall n>m>N$

$\left|S_{n}(x)-S_{m}(x)\right|=\left|\sum _{k=m+1}^{n}f_{k}(x)\right|{\overset {(1)}{\leq }}\sum _{k=m+1}^{n}|f_{k}(x)|\leq \sum _{k=m+1}^{n}M_{k}<\varepsilon .$

Ovaj parcijalni zbir reda ravnomjerno konvergira . Po definiciji, reda $\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(x)$ konvergira uniformno.

Reference

• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-054236-8.
• Rudin, Walter (1986). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 0-07-054234-1.
• Whittaker and Watson (1927). A Course in Modern Analysis, fourth edition. Cambridge University Press, p. 49.