Euklidski vektor
Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). |
Predloženo je da se ovaj članak podijeli na više članaka. |
Vektor je pojam iz matematike, oblasti linearna algebra, koji je uveden prvenstveno da bi se razlikovale veličine koje se pojavljuju u prirodi, a imaju pravac i smijer, te se kao takve razlikuju od veličina koje imaju samo veličinu i zovu se skalari.
Vektorske veličine su veličine određene sa dva ili više parametara. Najpoznatiji su primjeri vezani za geometriju u prostoru gdje se vektor određuje pravcem, smijerom i intezitetom a predstavlja strelicom orijentisanom duž pravca, dužine proporcionalne intenzitetu, a čiji vrh pokazuje smijer na zadatom pravcu. Generalizovani vektor ne mora biti ograničen na tri dimenzije. Vektor u n-dimenzionalnom prostoru opisuje se sa n parametara.
Fizičko tumačenje vektora obično se svodi na trodimenzionalni prostor. Tako su vektorske veličine brzina, sila, ubrzanje, moment količine kretanja... a skalarne masa, temperatura, zapremina.
Fizičke veličine čija vektorska vrijednost zavisi i od koordinate nazivaju se tenzorske. One se matematički predstavljaju matricom, u najprostijem slučaju 3h3. Tenzorskim veličinama se opisuju vektorske veličine u anizotropnoj sredini recimo kod nekubičnih kristala. Tenzorse veličine su toplotna provodljivost, električna provodljivost, difuzioni koeficijent, indeks preklamanja itd...
Definicija[uredi | uredi izvor]
Vektor je klasa ekvivalencije orjentisanih duži.[1]
Vektor se može definisati uređenim parom tačaka i iz . Tada je:
Vektor se može predstaviti i sa polaznom tačkom, jediničnim vektorom koji određuje njegov smjer i intenzitetom:
Ako zamjenimo sa koje može biti bilo koji broj iz definisali smo pravu koja prolazi kroz tačku a za vektor pravca ima vektor . Ako je samo ne-negativno ili samo ne-pozitivno, definisana je poluprava, sa početkom u tački .
Ako je rezultat je vektor koji je sa prethodnim kolinearan. Ako je novi vektor ovo znači da važi:
Označavanje[uredi | uredi izvor]
Vektori se označavaju malim podebljanim slovima kao a i malim kosim i podebljanim a, Druge konvencije uključuju . Alternativno, neki koriste (~) ili valovita podcrtano nacrtana ispod simbola, npr . Ako vektor predstavlja orjrntisanu duž ili pomak iz tačke A do tačke B označena kao ili AB. Vektori se predstavljaju i grafički.
- Primjer
vektor od koordinantnog početka do tačke je
U trodimenzionalnom prostoru vektor se označava sa
ili .
U n-dimensionalnom prostoru
Pomoću matrica označavaju se kao vektor reda ili vektor kolone
. Drugi način predstavljanja vektora n-dimenzionalnom prostoru je pomoću je stamdardnih baznih vektora
.
odnosno
ili
.
Dekartove koordinate[uredi | uredi izvor]
U Dekartovom koordinatnom sistemu, vektor le određen koordinatama početne i završne tačke.
- Primjer
Tačke i u prostoru određuju vektor
Nula-vektor[uredi | uredi izvor]
Nula-vektor je vektor čiji je intenzitet jednak nuli. Obiljeležava se kao nula sa naznakom za vektor.[2]
Jedinični vektor[uredi | uredi izvor]
Jedinični vektor ili ort je vektor čiji je intenzitet jednak jedinici. Za svaki ne-nula vektor može se odrediti odgovarajući jedinični vektor istog pravca i smjera.
Ovaj postupak se zove normiranje vektora.
U Dekartovim koordinatama vektor je jedinični vektor duž x- ose. njegov početak je u koordinantnom portku .
Intenzitet vektora[uredi | uredi izvor]
Intenzitet vektora ili modul vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni korjen zbira kvadrata njegovih koordinata.
Jednakost vektora[uredi | uredi izvor]
Dva vektora
i
su jednaka ako važi
Kolinearni i komplanarni vektori[uredi | uredi izvor]
Vektori koji pripadaju istoj ili paralelnim pravama su kolinearni [3], a koj ipripadaju istoj ili paralelnim ravnima su komplanarni.[4],
Projekcija vektora[uredi | uredi izvor]
Projekcija vektora
- Ortogonalna projekcija u ravni na pravu je funkcija koja svakoj tački
ravni pridružuje tačku u kojoj normala na , koja prolazi tačkom , siječe prava .
- Ortogonalna projekcija u prostoru na pravu je funkcija koja svakoj tački
prostora pridružuje tačku u kojoj ravan koja prolazi tačkom ,a okomita je na , siječe pravu .[1]
Suprotni, paralelni, i antiparalelni vektori[uredi | uredi izvor]
Dva vektora su suprotna ako imaju isti pravac i intenzitet a suprotan smjer tj. dva vektora
i
su suprotna ako važi
Dva vektora su paralelna ako imaju isti smjer, ili antiparalelni ako imaju suprotan smjer. Jednakost intenziteta nije nužan uslov
Operacije nad vektorima[uredi | uredi izvor]
Nad vektorima, kao i svim ostalim elemetima analitičke matematike, se mogu uvesti aritmetičke operacije. Pri tome se vektor predstavlja kao uređena n-torka skalara koji pripadaju nekom polju K. Na primjer:
, ,
Je jedan n-dimenzionalni vektor nad poljem K. Pojam n-dimenzionalni dolazi od činjenice da je vektor definisan pomoću n skalara. Prostor ovih vektora se još naziva , a skalari koji čine vektor zajedno sa informacijom o njihovoj poziciji u uređenoj n-torki koordinate vekrora. Na primjer je prva koordinata vektora, je druga koordinata vektora itd.
Slijede osnovne operacije nad vektorima, koje se u principu definišu nad vektorima istih dimenzija.
Intenzitet vektora[uredi | uredi izvor]
Intenzitet vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih koordinata.[5]
Množenje vektora skalarom[uredi | uredi izvor]
Množenje vektora nekim skalarom je definisano kao množenje svake koordinate tog vektora tim skalarom. Ova operacija je komutativna.
= =
Sabiranje vektora[uredi | uredi izvor]
Uzmimo dva vektora :
Njihovo sabiranje se u principu definiše kao sabiranje komponenti sa istim indeksima.
,
, gde je
Pri čemu će vektor c biti iz prostora . Oduzimanje vektora bi se vršilo po sličnom principu:
Pri čemu .
Skalarno množenje vektora[uredi | uredi izvor]
Slično sabiranju, skalarno množenje vektora se definiše kao zbir proizvoda svih parova koordinata dva vektora, koja imaju iste indekse. Ovaj zbir i proizvod se preuzimaju iz polja K. Razlika u odnosu na sabiranje je to što je rezultat skalarnog proizvoda dva vektora iz u stvari jedan skalar iz K. Konkretno za dva vektora a i b iz bi proizvod k izgledao ovako:
,
, gde je
Ovdje treba primijetiti da je skalarni proizvod vektora također jednak
,
pri čemu je ugao između a i b.
Ovo zapravo znači i:
To jest da su dva vektora normalni, ako im je skalarni proizvod jednak nuli.
Vektorski proizvod[uredi | uredi izvor]
Još jedan tip proizvoda karakterestičan za trodimenzionalne euklidske prostore () je vektorski proizvod. Definiše se na sljedeći način:
Jer su , i vektori kanonske baze .
Kod vektorskog proizvoda je bitno primijetiti sljedeće osobine:
, tj. vektorski proizvod dva vektora je normalan na njih same.
, gde je ugao između ova dva vektora. Ovo zapravo znači da je intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora jednak površini paralelograma koga čine ovi vektori.
, tj. vektorski proizvod nije komutativan.
, gde je . Tj. vektorski proizvod se lijepo ponaša prema množenju skalarom slijeva.
Mješoviti proizvod[uredi | uredi izvor]
Mješoviti proizvod vektora je trinarna matematička operacija koja uređenu trojku vektora iz preslikava u skalar iz E. Zapisuje se sa . A po definiciji je:
Što znači da je vrijednost mješovitog proizvoda tri vektora jednaka zapremini paralelopipeda koga oni čine. Slijede neka osnovna svojstva mješovitog proizvoda:
Također pogledajte[uredi | uredi izvor]
Reference[uredi | uredi izvor]
- ^ Vektor je
- ^ Nula vektor
- ^ "dva ili više vektora su kolinearni/2.12. 2013" (PDF). Arhivirano s originala (PDF), 6. 8. 2015. Pristupljeno 22. 5. 2016.
- ^ "dva ili više vektora su komplanarni/ 02.12.2013" (PDF). Arhivirano s originala (PDF), 6. 8. 2015. Pristupljeno 22. 5. 2016.
- ^ Intenzitet vektora
Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]
Commons ima datoteke na temu: Euklidski vektor |