| Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon. |
U linearnoj algebri, adjungovana ili klasični pridodatak kvadratne matrice je matrica koji igra ulogu sličnu inverzu matrice; može se, međutim, definisati za svaku kvadratnu matricu bez potrebe da se obavlja bilo kakvo dijeljenje.
Pretpostavimo da je R komutativni prsten i A je matrica dimenzije n×n sa vrijednostima iz R. Definicija adjungovane matrice od A je proces iz više koraka:
- Definišimo (i,j) minor od A, u oznaci Mij, kao determinantu matrice dimnezije (n − 1)×(n − 1), koja rezultuje brisanjem reda i i kolone j od A.
- Definišimo (i,j) kofaktor matrice A kao
- Definišimo matricu kofaktora matriceA, kao matricu C, dimenzije n×n, čija je vrijednost (i,j) je (i,j) kofaktor matrice A.
adjungovana matrica matrice A je transponovana matrica matrice kofaktora matrice A:
- .
To jeste, adjungovana matrica matrice A je matrica dimenzije n×n čije su (i,j) vrijednosti (j,i) kofaktori matrice A:
- .
Svojstvena matrica dimenzije 2x2[uredi | uredi izvor]
Adjungovana matrica matrice dimenzije
je
- .
Svojstvena matrica dimenzije 3x3[uredi | uredi izvor]
Razmotrimo matricu dimenzije
- .
Njena adjungovana matrica je
gdje je
- .
Uočite da je adjungovana matrica transponovana matrica matrice kofaktora. Zbog toga, naprimjer, vrijednost (3,2) adjungovana matrice je kofaktor (2,3) matrice A.
Numerička matrica dimenzije 3x3[uredi | uredi izvor]
Kao specifični primjer imamo
- .
−6 u trećem redu, drugoj koloni adjungovane matrice, izračunato je na sljedeći način:
- .
Ponovo, vrijednost (3,2) adjungovane matrice je kofaktor (2,3) matrice A. Zbog toga, podmatrica
dobivena je brisanjem drugog reda i treće kolone originalne matrice A.
Kao posljedica Laplaceove formule za determinantu matrice A dimenzije n×n, imamo
gdje je I jedinična matrica dimenzije n×n. Uistinu, vrijednost (i,i) proizvoda A adj(A) je skalarni proizvod reda i matrice A sa redom i matrice kofaktora C, koji je jednostavno Laplaceova formula za det(A) proširen sa redom i. Više, za i ≠ j, vrijednost (i,j) prooizvoda je skalarni proizvod reda i matrice A sa redom j matrice C, koji je Laplaceova formula fza determinantu matrice čiji su i i j redovi jednaki, i koja je zbog toga, jednaka nuli.
Iz ove formule slijedi jeda od najvažnijih rezultata u matričnoj algebri: Matrica A nad komutativnim prostenom R je inverzna ako i samo ako je det(A) inverzna u R.
Ako je A inverzna matrica, tada je
a ako je det(A) jedinica, tada (*) iznad pokazuje da je
Adjungovana matrica ima osobine
za sve matrice A and B dimenzija n×n.
Adjungovana matrica zadržava transpoziciju:
- .
Dalje, ako je nesingularna, tada je
- .
Ako je p(t) = det(A − tI) karakteristični polinom matrice A, te ako definišemo polinom q(t) = (p(0) − p(t))/t, tada je
- ,
gdje su koeficijenti od p(t),
Adjungovana matrica također se pojavljuje u formuli derivacije determinante.