Apsolutna konvergencija

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, za red (ili ponekad i integral) brojeva se kaže da konvergira apsolutno ako je zbir (ili integral) apsolutne vrijednosti sabirka ili integranda konačan.

Tačnije, za red realane ili kompleksne vrijednosti \sum_{n=0}^\infty a_n kaže se da konvergira apsolutno ako vrijedi \sum_{n=0}^\infty \left|a_n\right| < \infty.

Apsolutna konvergencija je od vitalne važnosti za proučavanje beskonačnih redova, jer je, s jedne strane, dovoljno jaka da se zadrže određene osnovne osobine konačnih suma - najvažnije su premještanje članova i konvergencija proizvoda od dva beskonačna reda - koje, nažalost, ne posjeduju svi konvergentni redovi. S druge strane, apsolutna konvergencija je dovoljno slaba da često pojavi u praksi. Doista, u nekim (iako ne u svim) granama matematike u kojima se primjenjuju redovi, postojanje konvergentnog, ali ne i apsolutno konvergentnog niza je nešto više od znatiželje.

Općenitija postavka za apsolutnu konvergenciju[uredi | uredi izvor]

Može se proučavati konvergencija reda \sum_{n=0}^{\infty} a_n čiju su članovi a_n elementi proizvoljnog topološke abelovske grupe. Pojam apsolutne konvergencije zahtijeva više strukture, odnosno normi:

Norma za abelovsku grupu G (napisano dodatno, s elementom identiteta 0) je funkcija realne vrijednosti x \mapsto \|x\| na G, tako da je:

  1. Norma elementa identiteta G je nula: \|0\| = 0.
  2. Norma elementa neidentiteta bilo kojeg elementa je strogo pozitivna:  0 \neq x \implies \|x\| > 0.
  3. Za svakix u G, \|x\| = \|-x\|.
  4. Za svakix, y u G, \|x+y\| \leq \|x\| + \|y\|.

Tada funkcija d(x,y) = \|x-y\| indukuje naG strukturu metričkog prostora (i posebno, topologiju). Možemo stoga razmotriti red G vrijednosti i definisati takav red da bude apsolutno konvergentan ako je \sum_{n=0}^{\infty} \|a_n\| < \infty.

Odnosi s konvergencijom[uredi | uredi izvor]

Ako je metrik d na G je potpun, onda svaki apsolutno konvergentan red je konvergentan. Dokaz je isti kao i za redove kompleksne vrijednosti: iskoristimo potpunost za dobijanje Cauchyjevog kriterija konvergencije - red je konvergentan ako i samo ako se njegov kraj može učiniti proizvoljno malim u normi - te primjenjujući nejednakost trougla.

Konkretno, za redove sa vrijednostima u bilo kojem Banachovom prostoru, apsolutna konvergencija podrazumijeva konvergenciju. Obrnuto je, također, tačno: ako apsolutna konvergencija podrazumijeva konvergenciju u normiranom prostoru, onda je prostor potpun, tj. Banachov prostor.

Tačno je da red može biti konvergentan, a da nije apsolutno konvergentan, gdje je standardni primjer alternativni harmonijski red. Međutim, mnogi standardni testovi koji pokazuju da je red konvergentan, u stvari pokazuju apsolutnu konvergenciju, posebno omjeri općih članovi i korjeni testovi. Ovo je važna posljedica koja govori da su potencijalni redovi apsolutno konvergentni unutar svoje oblasti konvergencije (radijus konvergencije).

Standardno je na predavanjima iz kalkulusa da je realni red, koji je konvergentan, ali ne i apsolutno konvergentan, uslovno konvergentan. Međutim, u općenitijem kontekstu redova G vrijednosti, postoji razlika između apsolutne i bezuslovne konvergencije, a tvrdnja da je realni ili kompleksni red, koji nije apsolutno konvergentan, nužno uslovno konvergentan (tj. ne bezuslovno konvergentan) je onda teorem, a ne definicija. Ovo je detaljnije objašnjeno u nastavku.

Preraspodjela i bezuslovna konvergencija[uredi | uredi izvor]

Za dati red \sum_{n=0}^{\infty} a_n s vrijednostima u normiranoj abelovskoj grupi G i permutacija \sigma prirodnih brojeva, moguće je napraviti nove redove \sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)}, takve da oni budu preraspodjela originalnog reda. Za red se kaže da je bezuslovno konvergentan ako su sve preraspodjele reda konvergentne za istu vrijednost.

Kada je G potpuna, apsolutna konvergencija podrazumijeva bezuslovnu konvergenciju. (Opet, dokaz zahtijeva više od primjene Cauchyjevog kriterija, a zatim nejednakosti trouglova).

Problem da li važi obrnuto mnogo je interesantniji. Za realne redove slijedi, iz Riemannovog teorema preuređivanje, da bezuslovna konvergencija implicira apsolutnu konvergenciju. Pošto je red, sa vrijednostima u konačno dimenzijalnom normiranom prostoru, apsolutno konvergentan ako i samo ako svaka od njegovih jednodimenzionalnih projekcija apsolutno konvergentna, lagano se uočava da se apsolutna i bezuslovna konvergencija poklapaju za redove \mathbb{R}^n vrijednosti.

Međutim, postoji i bezuslovno i neapsolutno konvergentni redovi s vrijednostima u Hilbertovom prostoru \ell^2: ako je \{e_n\}_{n=1}^{\infty} ortonormalna baza, za, recimo, a_n = \frac{1}{n} e_n.

Izvanredno, Dvoretzky-Rogersov teorem tvrdi da je svaki beskonačno-dimenzionalan Banachov prostor priznaje bezuslovno, ali neapsolutno konvergentne redove.

Proizvodi redova[uredi | uredi izvor]

Cauchyjev proizvod dva reda konvergira u proizvod suma, ako barem jedan od redova konvergira apsolutno. To je, recimo:

\sum_{n=0}^\infty a_n = A
\sum_{n=0}^\infty b_n = B.

Cauchyjev proizvod definisan je kao zbir uslova c_n gdje je:

c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}.

Zatim, ako ili suma a_n ili suma b_n konvergira apsolutno, tada je

\sum_{n=0}^\infty c_n = AB.

Apsolutna konvergencija integrala[uredi | uredi izvor]

Za integral \int_A f(x)\,dx funkcije realne ili kompleksne vrijednosti se kaže da konvergira apsolutno ako vrijedi \int_A \left|f(x)\right|\,dx < \infty. Također se može reći da je f apsolutno integrabilna.

Kada je A=[a,b] zatvoreni ograničeni interval, svaka neprekidna funkcija je integrabilna, a pošto je f neprekidna, to implicira da je |f| neprekidna, te slično ovome pokazujemo da je svaka neprekidna funkcija apsolutno integrabilna. U općem slučaju, nije istina da su apsolutno integrabilne funkcije na [a,b] integrabilne: neka S \subset [a,b] bude nemjerljivi podskup i neka je f = \chi_S - \frac{1}{2}, gdje je \chi_S karakteristična funkcija od S. Tada f nije Lebesgue mjerljiva, ali je |f| konstantna. Međutim, to je standardni rezultat da ako je f Riemann integrabilna, onda je i |f|. To vrijedi i za Lebesgueov integral, pogledajte ispod. S druge strane, funkcija f može biti Kurzweil-Henstock integrabilna, dok |f| nije. Ovo uključuje slučaj nepravilnosti Riemann integrabilnih funkcija.

Slično tome, kad je interval beskonačne dužine dobro je poznato da postoje nepravilne Riemann integrabilne funkcije f koje nisu apsolutno integrabilne. Doista, za bilo koji red \sum_{n=0}^{\infty} a_n može se razmatrati i stepena funkcija f_a: [0,\infty) \rightarrow \mathbb{R} definisan sa f_a([n,n+1)) = a_n. Tada \int_0^{\infty} f_a dx konvergira apsolutno, konvergira uslovno ili divergira prema odgovarajućem ponašanju reda \sum_{n=0}^{\infty} a_n.

Drugi primjer konvergentnog, ali ne apsolutno konvergentanog nepravog Riemann integrala, je  \int_{\mathbb{R}} \frac{\sin x}{x} dx.

Za svaku mjeru prostora A Lebesgueov integral funkcija realne vrijednosti definisan je u pogledu svojih pozitivnih i negativnih dijelova, tako da činjenice:

  1. F integrabilna implicira |f| integrabilna
  2. F mjerljiva, |f| integrabilna, implicira f integrabilna

su, u suštini, ugrađene u definiciju Lebesgueovog integrala. Pojedinačno, primjenom teorije prebrojavanja mjera na skup S, jedan oporavlja pojma neuređen sabiranje serije developed by Moore-Smith koristi (što su sada zove) mrežama. Kada je S = \mathbb{N} skup prirodnih brojeva, Lebesgueova integrabilnost, i neuređena sumabilnost i apsolutna konvergencija se poklopaju.

Konačno, sve gore navedeno vrijedi za integrale s vrijednostima u Banachovom prostoru. Definicija Riemannovog integrala banachove vrijednosti je očito modifikacija uobičajene definicije. Za Lebesgueov integral mora se "prevariti" razgradnja na pozitivne i negativne dijelove sa Daniellovim funkcionalnijim analitičkim pristupom, gdje se dobija Bochnerov integral.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).