Babenko–Becknerova nejednakost

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Wiki letter w.svg Ovaj članak je siroče zato što nema ili vrlo malo ima drugih članaka koji linkuju ovamo.
Molimo Vas da postavite linkove prema ovoj stranici sa srodnih članaka(23-02-2012)

U matematici, Babenko–Becknerova nejednakost je rezultat koji ima primjene u principima neodređenosti u Fourierovoj analizi Lp prostora. (qp)-norma od n-dimenzionalne Fourierove transformacije je definisana kao[1]

\|\mathcal F\|_{q,p} = \sup_{f\in L^p(\mathbb R^n)} \frac{\|\mathcal Ff\|_q}{\|f\|_p},\text{ gdje je }1 < p \le 2,\text{ i }\frac 1 p + \frac 1 q = 1.

1961. godine, Babenko[2] otkrio je ovu normu za parne cijeli vrijednosti od q. Na kraju, 1975. godine, korištenjem Hermiteovih funkcija kao sopstvene funkcije od Fourierovih transformacija, Beckner[3] je dokazao da je vrijednost ove norme za sve q \ge 2 jednaka

\|\mathcal F\|_{q,p} = \left(p^{1/p}/q^{1/q}\right)^{n/2}.

Sada imamo Babenko–Becknerovu nejednakost koja je

\|\mathcal Ff\|_q \le \left(p^{1/p}/q^{1/q}\right)^{n/2} \|f\|_p.

Kako bi ovo zapisali eksplicitno, (u slučaju jedne dimenzije,) ako je Fourierova transformacija normalizovana tako da je

g(y) \approx \int_{\mathbb R} e^{-2\pi ixy} f(x)\,dx\text{ and }f(x) \approx \int_{\mathbb R} e^{2\pi ixy} g(y)\,dy,

tada imamo

\left(\int_{\mathbb R} |g(y)|^q \,dy\right)^{1/q} \le \left(p^{1/p}/q^{1/q}\right)^{1/2} \left(\int_{\mathbb R} |f(x)|^p \,dx\right)^{1/p}

ili jednostavnije

\left(\sqrt q \int_{\mathbb R} |g(y)|^q \,dy\right)^{1/q}
   \le \left(\sqrt p \int_{\mathbb R} |f(x)|^p \,dx\right)^{1/p}.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. ^ Iwo Bialynicki-Birula. Formulation of the uncertainty relations in terms of the Renyi entropies. arXiv:quant-ph/0608116v2
  2. ^ K.I. Babenko. An ineqality in the theory of Fourier analysis. Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 25 (1961) pp. 531-542 English transl., Amer. Math. Soc. Transl. (2) 44, pp. 115-128
  3. ^ W. Beckner, Inequalities in Fourier analysis. Annals of Mathematics, Vol. 102, No. 6 (1975) pp. 159–182.