Bernoullijeva jednačina

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Bernoullijeva jednačina prikazuje odnos između brzine, pritiska i gustoće tekućine u kretanju. Ona kaže da je u slučaju stabilnog strujanja nestišljive tekućine, bez trenja, ukupna energija tekućine jednaka duž svih presjeka; porastom brzine tekućine pada njen statički pritisak i obratno. Zbir statičkog i dinamičkog pritiska u horizontalnom strujanju daje ukupan pritisak, koji je konstantan u svim presjecima. Drugim riječima, Bernoullijeva jednačina predstavlja zakon očuvanja energije, koji nam u slučaju stacionarnog strujanja tekućine govori da za vrijeme stacionarnog strujanja jedinica mase tekućine (njen diferencijalni dio) ima konstantnu energiju duž cijele strujne cijevi.


Odnosno Bernouiiljeva jednačina govori o konstantnosti:

Objašnjenje Bernoullijeve jednačine[uredi | uredi izvor]

Bernoulli equation.jpg

Kroz cijevi različitog presjeka protječe tekućina (slika). Okomito na smjer strujanja postavljene su piezometarske cjevčice (1) koje pokazuju veličinu statičkog pritiska mjerenog u pravcu okomito na smjer strujanja, kako bi se izbjegao utjecaj pritiska usljed kretanja tekućine. Pitotove cijevčice sa savijenim uronjenim krajevima u smjeru strujanja (2) po zakonu o spojenim posudama imaju istu razinu kao i posuda (3). Piezometarska i brzinska visina mogu se odrediti pomoću piezometarske i Pitotove cijevi. Zbir tih visina je konstantna i jednaka H, bez obzira koju strujnu cijev promatramo.

Na užim mjestima statički pritisak je manji, a na širim veći. U ravnomjernom strujanju tekućine kroz cijev brzina u užim dijelovima je veća, iz čega proizlazi da je na mjestima manje brzine strujanja statički pritisak veći, a na mjestima veće brzine manji.

Osnovne i izvedene mjerne jedinice koje se koriste u Bernoullijevoj jednačini[uredi | uredi izvor]

ρGustoća -
S - presjek predstavlja površinu poprečnog presjeka - .
p - statički pritisak - (Pa)
v - brzina - (m/s)
mmasa tekućine - (kg)
R - mehanički rad - (W)
V - volumen mase tekućine -
  • Bernoullijeva jednačina koristi SI sistem jedinica.
    • geodetska visina, odnosno visina težišta poprečnog presjeka u odnosu na neku horizontalnu ravan u
    • piezometarska ili visina pritiska, odnosno visina piezometarskog pritiska koju pokazuje visina stupca tekućine u piezometarskoj cijevi u
    • je brzinska visina u , a brzina predstavlja brzinu koju bi tijelo imalo kada bi bilo u slobodnom padu.
    • Ukupan zbir energija daje Bernoullijevu jednačinu

Ulaskom u uži dio cijevi, presjeka i statičkog pritiska , tekućina dobije veću brzinu . Masa tekućine m ima u širem dijelu cijevi kinetičku energiju:

a kad uđe u uži dio:

Povećanje kinetičke energije posljedica je mehaničkog rada R koji je nastao zbog razlike pritisaka () pri kretanju mase m tekućine iz šireg dijela cijevi u uži na putu ΔS:

R = () ΔS
R= () V , gdje je V volumen mase tekućine.

Taj je rad jednak povećanju kinetičke energije:

() V = -

Dijeljenjem gornje jednakosti s volumenom, znajući da je gustoća ρ = , dobijamo Bernoullijevu jednačinu:

+ = + = + = konst.

Izrazi , + i + prikazuju pritisak koji je nastao usljed strujanja tekućine i zove se dinamički pritisak.

Oblik Bernoullijeve jednačine za idealnu tekućinu[uredi | uredi izvor]

Osnovne pretpostavke pod kojima vrijedi ova jednačina jesu:
  1. tekućina je idealna - nestišljiva tekućina, linija energije je konstantna duž presjeka
  2. Stacionarno strujanje

    • predstavlja hidrodinamički pritisak ili ukupnu specifičnu energiju u .

Izvod Bernoullijeve jednačine preko zakona održanja količine kretanja[uredi | uredi izvor]

Bernoullijeva jednačina je prvi puta izvedena 1738. godine primjenom zakona održanja količine kretanja.

Osnovne pretpostavke pod kojima vrijedi ovaj izvod jesu:

  1. fiktivna cijev ili proračun za konačni element neke cijevi,
  2. Stacionarno strujanje ili postupno promjenjivo strujanje.

Izvod Bernoullijeve jednačine preko Eulerovog integrala[uredi | uredi izvor]

Eulerove diferencijalne jednačine kretanja tekućine - implicitni oblik


... ... ...(1E)
... ... ...(2E)
... ... ...(3E)

- nema općeg rješenja jer imamo 4 nepoznanice. Rješenje je moguće samo ako definiramo pretpostavku koja će eliminirati nepoznanicu viška.

Osnovna pretpostavka:
matematičke transformacije - (1E) množimo s dx, (2E) množimo s dy, (3E) množimo s dz i saberemo dobivene jednačine.

,

pa dobijemo jednačinu:


možemo derivirati




Dakle, sada imamo ovaj oblik jednačine



  • ako imamo strujnu cijev u kojoj djeluje samo gravitacija u normalnom koordinatnom sistemu. Možemo pojednostavniti ovako:



I konačno Eulerov integral koji predstavlja izvod Bernoullijeve jednačine:

Oblik Bernoullijeve jednačine za realnu tekućinu[uredi | uredi izvor]

    • je dio specifične energije utrošen na svladavanje hidrodinamičkih otpora strujanju kapljevine. Izražava se u .

Coriolisov koeficijent[uredi | uredi izvor]

Naziva se i koeficijent kinetičke energije . On pokazuje odnos stvarne kinetičke energije mase fluida koji protječe poprečnim presjekom u jedinici vremena i kinetičke energije određene iz uvjeta da su brzine u svim tačkama presjeka jednake (srednja brzina). Koeficijent kinetičke energije je bezdimenzionalna jedinica.

Koeficijent kinetičke energije najčešće ima sljedeće vrijednosti:
    • kod strujanja u cijevima
    • kod strujanja u otvorenim vodotocima
    • vrijednost možemo računati ovom formulom:

- postavlja se uslov da je

Praktična primjena Bernoullieve jednačine[uredi | uredi izvor]

Primjer cijevi pod pritiskom[uredi | uredi izvor]

Cijev pod pritiskom

Znamo: .

gubitak pritiska predstavlja razliku piezometarskih visina u presjecima (1) i (2). Za slučaj da je cijev horizontalna vrijedi:



Primjer za otvoreni vodotok[uredi | uredi izvor]

Otvoreni vodotok


znamo: ako je strujanje ravnomjerno





  • atmosferski pritisak djeluje na površini vodotoka
  • u piezometrima se voda podiže do razine vode u vodotoku
linija vodnog lica je pijezometarska linija







Primjer za Venturijev vodomjer[uredi | uredi izvor]

Zaključak[uredi | uredi izvor]

gdje je statički pritisak, dinamički pritisak, a ukupni pritisak, konstantan u cijelom horizontalnom cjevovodu bez obzira na presjek.


  • Bernoullijev zakon ili Bernoullijeva jednačina služi za proračun brzine, pritiska ili gubitaka kod protoka tekućine kroz otvorene i zatvorene vodotoke za idealnu i realnu tekućinu. Pošto se radi o tekućinama, tj. fluidima, ova jednačina služi kao temeljna postavka za objašnjavanje uzgona aeroprofila.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]