Bernoullijeva jednačina

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Bernoullijeva jednačina prikazuje odnos između brzine, pritiska i gustoće tekućine u kretanju. Ona kaže da je u slučaju stabilnog strujanja nestišljive tekućine, bez trenja, ukupna energija tekućine jednaka duž svih presjeka; porastom brzine tekućine pada njen statički pritisak i obratno. Zbir statičkog i dinamičkog pritiska u horizontalnom strujanju daje ukupan pritisak, koji je konstantan u svim presjecima. Drugim riječima, Bernoullijeva jednačina predstavlja zakon očuvanja energije, koji nam u slučaju stacionarnog strujanja tekućine govori da za vrijeme stacionarnog strujanja jedinica mase tekućine (njen diferencijalni dio) ima konstantnu energiju duž cijele strujne cijevi.


Odnosno Bernouiiljeva jednačina govori o konstantnosti:

Objašnjenje Bernoullijeve jednačine[uredi | uredi izvor]

Bernoulli equation.jpg

Kroz cijevi različitog presjeka protječe tekućina (slika). Okomito na smjer strujanja postavljene su piezometarske cjevčice (1) koje pokazuju veličinu statičkog pritiska mjerenog u pravcu okomito na smjer strujanja, kako bi se izbjegao utjecaj pritiska usljed kretanja tekućine. Pitotove cijevčice sa savijenim uronjenim krajevima u smjeru strujanja (2) po zakonu o spojenim posudama imaju istu razinu kao i posuda (3). Piezometarska i brzinska visina mogu se odrediti pomoću piezometarske i Pitotove cijevi. Zbir tih visina je konstantna i jednaka H, bez obzira koju strujnu cijev promatramo.

Na užim mjestima statički pritisak je manji, a na širim veći. U ravnomjernom strujanju tekućine kroz cijev brzina u užim dijelovima je veća, iz čega proizlazi da je na mjestima manje brzine strujanja statički pritisak veći, a na mjestima veće brzine manji.

Osnovne i izvedene mjerne jedinice koje se koriste u Bernoullijevoj jednačini[uredi | uredi izvor]

ρGustoća - (kg/m^3)
S - presjek predstavlja površinu poprečnog presjeka - (m^2).
p - statički pritisak - (Pa)
v - brzina - (m/s)
mmasa tekućine - (kg)
R - mehanički rad - (W)
V - volumen mase tekućine - (m^3)
  • Bernoullijeva jednačina koristi SI sistem jedinica.
    • \ z geodetska visina, odnosno visina težišta poprečnog presjeka u odnosu na neku horizontalnu ravan u \ (m)
    • \ p \over \rho g piezometarska ili visina pritiska, odnosno visina piezometarskog pritiska koju pokazuje visina stupca tekućine u piezometarskoj cijevi u \ (m)
    • \ {v^2 \over 2g} je brzinska visina u \ (m), a brzina \ v predstavlja brzinu koju bi tijelo imalo kada bi bilo u slobodnom padu.
    • Ukupan zbir energija daje Bernoullijevu jednačinu

Ulaskom u uži dio cijevi, presjeka S_2 i statičkog pritiska p_2, tekućina dobije veću brzinu v_2. Masa tekućine m ima u širem dijelu cijevi kinetičku energiju:

  \frac{ m \cdot v_1^2}{2}
a kad uđe u uži dio:
  \frac{ m \cdot v_2^2}{2}

Povećanje kinetičke energije posljedica je mehaničkog rada R koji je nastao zbog razlike pritisaka (p_1-p_2) s_1 pri kretanju mase m tekućine iz šireg dijela cijevi u uži na putu ΔS:

R = (p_1-p_2) s_1 ΔS
R= (p_1-p_2) V , gdje je V volumen mase tekućine.

Taj je rad jednak povećanju kinetičke energije:

(p_1-p_2) V =   \frac{ m \cdot v_2^2}{2} -   \frac{ m \cdot v_1^2}{2}

Dijeljenjem gornje jednakosti s volumenom, znajući da je gustoća ρ = \frac {m}{V}, dobijamo Bernoullijevu jednačinu:

p_1 +   \frac{\rho \cdot v_1^2}{2} = p_2 +   \frac{\rho \cdot v_2^2}{2} = p_3 +   \frac{\rho \cdot v_3^2}{2} = konst.

Izrazi   \frac{\rho \cdot v_1^2}{2} , p_2 +   \frac{\rho \cdot v_2^2}{2} i p_3 +   \frac{\rho \cdot v_3^2}{2} prikazuju pritisak koji je nastao usljed strujanja tekućine i zove se dinamički pritisak.

Oblik Bernoullijeve jednačine za idealnu tekućinu[uredi | uredi izvor]

Osnovne pretpostavke pod kojima vrijedi ova jednačina jesu:
  1. tekućina je idealna - nestišljiva tekućina, linija energije je konstantna duž presjeka
  2. Stacionarno strujanje

\ z_1+ {p_1 \over \rho g}+{v^2_1 \over 2g}=z_2+ {p_2 \over \rho g}+{v^2_2 \over 2g}=H

Izvod Bernoullijeve jednačine preko zakona održanja količine kretanja[uredi | uredi izvor]

Bernoullijeva jednačina je prvi puta izvedena 1738. godine primjenom zakona održanja količine kretanja.

Osnovne pretpostavke pod kojima vrijedi ovaj izvod jesu:

  1. fiktivna cijev ili proračun za konačni element neke cijevi,
  2. Stacionarno strujanje ili postupno promjenjivo strujanje.

Izvod Bernoullijeve jednačine preko Eulerovog integrala[uredi | uredi izvor]

Eulerove diferencijalne jednačine kretanja tekućine - implicitni oblik


\ \frac{1}{\rho} \frac{\delta p}{\delta x} = X -  \frac{d u }{d t } ... ... ...(1E)
\ \frac{1}{\rho} \frac{\delta p}{\delta y} = Y -  \frac{d v }{d t } ... ... ...(2E)
\ \frac{1}{\rho} \frac{\delta p}{\delta z} = Z -  \frac{d W }{d t } ... ... ...(3E)

\ \rho =konst - nema općeg rješenja jer imamo 4 nepoznanice. Rješenje je moguće samo ako definiramo pretpostavku koja će eliminirati nepoznanicu viška.

Osnovna pretpostavka:
matematičke transformacije - (1E) množimo s dx, (2E) množimo s dy, (3E) množimo s dz i saberemo dobivene jednačine.

\ \frac{1}{\rho} (\frac{\delta p}{\delta x}dx + \frac{\delta p}{\delta y}dy + \frac{\delta p}{\delta z}dz)=Xdx+Ydy+Zdz - ( du \overbrace{ \frac{d x }{d t }}^{u} + dv \overbrace{ \frac{d y }{d t }}^{v} + dw \overbrace{ \frac{d z }{d t })}^{w} ,

pa dobijemo jednačinu:

\ 0=Xdx+Ydy+Zdz - \frac{1}{\rho} \delta p - (udu+vdv+wdw)

možemo derivirati

\ udu= \frac{1}{2} d u^2
\ vdv= \frac{1}{2} d v^2
\ wdw= \frac{1}{2} d w^2

Dakle, sada imamo ovaj oblik jednačine

\ 0=Xdx+Ydy+Zdz - \frac{\delta p}{\rho} - \frac {1}{2}d (u^2+v^2+w^2)
\ 0=Xdx+Ydy+Zdz - \frac{\delta p}{\rho} - \frac {1}{2}d (W^2)

  • ako imamo strujnu cijev u kojoj djeluje samo gravitacija u normalnom koordinatnom sistemu. Možemo pojednostavniti ovako:

\ X=0, Y=0, Z=-g
\ -gdz - \frac{\delta p}{\rho}- \frac{1}{2} d(W^2)=0  ... operacije/ \int / : -g
I konačno Eulerov integral koji predstavlja izvod Bernoullijeve jednačine:
\ z+ \frac {p}{\rho g} + \frac {W^2}{2g}= konstanta

Oblik Bernoullijeve jednačine za realnu tekućinu[uredi | uredi izvor]

\ z_1+ {p_1 \over \rho g}+{\alpha_1 v^2_1 \over 2g}=z_2+ {p_2 \over \rho g}+{\alpha_2 v^2_2 \over 2g}+ \Delta H

    • \ \Delta H je dio specifične energije utrošen na svladavanje hidrodinamičkih otpora strujanju kapljevine. Izražava se u \ (m).

Coriolisov koeficijent[uredi | uredi izvor]

Naziva se i koeficijent kinetičke energije \ \alpha_{1,2}. On pokazuje odnos stvarne kinetičke energije mase fluida koji protječe poprečnim presjekom u jedinici vremena i kinetičke energije određene iz uvjeta da su brzine u svim tačkama presjeka jednake (srednja brzina). Koeficijent kinetičke energije je bezdimenzionalna jedinica.

Koeficijent kinetičke energije najčešće ima sljedeće vrijednosti:
    • kod strujanja u cijevima \alpha=1,0
    • kod strujanja u otvorenim vodotocima \alpha=1,1
    • vrijednost \alpha možemo računati ovom formulom:

\ \alpha= \frac{ \int_A v^3 dA}{v_{sr}^3A} - postavlja se uslov da je \alpha \geq 1

Praktična primjena Bernoullieve jednačine[uredi | uredi izvor]

Primjer cijevi pod pritiskom[uredi | uredi izvor]

Cijev pod pritiskom

Znamo: \ d=konstantno, Q=konstantno -> v=konstantno.

gubitak pritiska predstavlja razliku piezometarskih visina u presjecima (1) i (2). Za slučaj da je cijev horizontalna vrijedi: z_1=z_2

\ z_1+ \frac{p_1}{ \rho g}=z_2+ \frac{p_2}{ \rho g} + \Delta H
\  \Delta H =(z_1+ \frac{p_1}{ \rho g})-(z_2+ \frac{p_2}{ \rho g})

Primjer za otvoreni vodotok[uredi | uredi izvor]

Otvoreni vodotok


znamo: ako je strujanje ravnomjerno \ v=konstantno.

\ l_0=l_p=l_e=l

\ p_1=p_2=p_{atm}

  • atmosferski pritisak djeluje na površini vodotoka
  • u piezometrima se voda podiže do razine vode u vodotoku
linija vodnog lica je pijezometarska linija







Primjer za Venturijev vodomjer[uredi | uredi izvor]

Zaključak[uredi | uredi izvor]

\ p_s + \ p_d = p_u  =  konst.

gdje je \ p_s statički pritisak, \ p_d  =  \frac{\rho \cdot v^2}{2} dinamički pritisak, a \ p_u ukupni pritisak, konstantan u cijelom horizontalnom cjevovodu bez obzira na presjek.


  • Bernoullijev zakon ili Bernoullijeva jednačina služi za proračun brzine, pritiska ili gubitaka kod protoka tekućine kroz otvorene i zatvorene vodotoke za idealnu i realnu tekućinu. Pošto se radi o tekućinama, tj. fluidima, ova jednačina služi kao temeljna postavka za objašnjavanje uzgona aeroprofila.

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Commons logo
U Wikimedijinom spremniku se nalazi još materijala vezanih uz: