Bernoullijeva nejednakost

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Ilustracija Bernoullijeve nejednakosti, sa grafikom i prikazanom crvenom i plavom bojim, respektivno. Ovdje je

U realnoj analizi, Bernoullijeva nejednakost je nejednakost koja aproksimuje eksponencijacije od 1 + x.

Nejednakost iskazuje da je

za svaki cijeli broj r ≥ 0 i svaki realan broj x > −1. Ako je eksponent r paran, tada nejednakost važi za sve realne brojeve x. Striktna varijanta ove nejednakosti glasi

za svaki cijeli broj r ≥ 2 i za svaki realan broj x ≥ −1, uz x ≠ 0.

Bernoullijeva nejednakost se često koristi kao bitan korak u dokaz drugih nejednakosti. Sama se može dokazati korištenjem matematičke indukcije, kao što je prikazano ispod.

Dokaz nejednakosti[uredi | uredi izvor]

Za

je ekvivalentna sa , što je tačno.

Sada pretpostavimo da je iskaz tačan za :

Tada slijedi da je

(po hipotezi, pošto je )

Međutim, kada je (pošto je), slijedi da je , što znači da je iskaz tačan za .

Indukcijom zaključujemo da je iskaz tačan za sve

Generalizacija[uredi | uredi izvor]

Eksponent r može biti uopćen u proizvoljni realan broj na slijedeći način: ako je x > −1, tada je

za r ≤ 0 ili r ≥ 1, i

za 0 ≤ r ≤ 1.

Ova generalizacija može se dokazati upoređivanjem derivacija. Ponovo, striktne varijante ove nejednakosti zahtijevaju da je x ≠ 0 i r ≠ 0, 1.

Vezane nejednakosti[uredi | uredi izvor]

Slijedeća nejednačina procjenjuje r-ti stepen od 1 + x u odnosu na drugu stranu nejednakosti. Za sve realne brojeve x, r > 0, imamo da je

gdje je e = 2,718...

Ovo se može dokazati korištenjem jednakosti (1 + 1/k)k < e.

Reference[uredi | uredi izvor]

  • Carothers, N. (2000). Real Analysis. Cambridge: Cambridge University Press. str. 9. ISBN 0521497566. 
  • Bullen, P.S. (1987). Handbook of Means and Their Inequalities. Berlin: Springer. str. 4. ISBN 1402015224. 
  • Zaidman, Samuel (1997). Advanced Calculus. City: World Scientific Publishing Company. str. 32. ISBN 9810227043. 

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]