Binomni teorem

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U elementarnoj algebri, binomni teorem opisuje koeficijente stepena binoma kada je on predstavljen u razvijenoj formi. Njegov najjednostavniji oblik kaže da je

(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad\quad\quad(1)

za bilo koje realne ili kompleksne brojeve x i y, te bilo koji nenegativan cijeli broj n. Binomni koeficijent, koji se pojavljuje u (1), može se definisati preko funkcije faktorijela n!:

{n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}.

Na primjer, pred nama su slučaji kada je 2 ≤ n ≤ 5:

(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\,
(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\,
(x + y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 +5xy^4 + y^5.\,

"Binomni tip"[uredi | uredi izvor]

Binomni teorem može se iskazati tako što ćemo reći da je polinomni niz

\left\{\,x^k:k=0,1,2,\dots\,\right\}\,

iz binomnog tipa.

Dokaz[uredi | uredi izvor]

Jedan način da dokažemo binomni teorem (1) je pomoću matematičke indukcije. Kada je n = 0, imamo da je

 (a+b)^0 = 1 = \sum_{k=0}^0 { 0 \choose k } a^{0-k}b^k.

Sada pretostavimo da teorem važi i kada je eksponent m. Tada, za n = m + 1

 (a+b)^{m+1} = a(a+b)^m + b(a+b)^m \,
 = a \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k} b^k + b \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^j

po hipotezi indukcije

 = \sum_{k=0}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}

množeći sa a i b dobijamo

 = a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{j=0}^m { m \choose j } a^{m-j} b^{j+1}

izvlačimo član k = 0

 = a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1} b^k + \sum_{k=1}^{m+1} { m \choose k-1 }a^{m-k+1}b^{k}

i kažemo da je j = k − 1

 = a^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m \choose k } a^{m-k+1}b^k + \sum_{k=1}^{m} { m \choose k-1 }a^{m+1-k}b^{k} + b^{m+1}

izvlačimo član k = m + 1 sa desne strane

 = a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m \left[ { m \choose k } + { m \choose k-1 } \right] a^{m+1-k}b^k

te kombinujemo dobijene sume

 = a^{m+1} + b^{m+1} + \sum_{k=1}^m { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k

iz Pascalovog pravila imamo da je

 = \sum_{k=0}^{m+1} { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k

dodajemo u m + 1 članova.

Binomni broj[uredi | uredi izvor]

Binomni broj je broj u obliku \scriptstyle x^n \,\pm\, y^n (kada je n najmanje 2). Kada je znak ili ako je n neparan broj, tada se binomni brojevi kogu rastaviti na faktore algebarski:

x^n\pm y^n=(x\pm y)(x^{n-1} \mp x^{n-2}y + \cdots \mp xy^{n-2} + y^{n-1}).\,

Primjeri:

x^2-y^2=(x-y)(x+y)\,
x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\,
x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\,
x^8-y^8=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)\,

Da bi razložili \scriptstyle x^n\,-\,y^n na faktore, koristite izraz

x^n-y^n=(x-y) \left( \sum_{k=0}^{n-1}x^ky^{n-1-k} \right).

Također polgedajte[uredi | uredi izvor]

Zabilješke[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  • Amulya Kumar Bag. Binomial Theorem in Ancient India. Indian J.History Sci.,1:68-74,1966.

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]

Commons logo
U Wikimedijinom spremniku se nalazi još materijala vezanih uz: