Brocardove tačke dobijene od dodirnih tačaka tri kruga.
U geometriji Brocardove tačke su posebne tačke u okviru jednog trougla.
Ime su dobile po francuskom matematičaru Henriju Brocardu (1845–1922).
U trouglu
tačka P je prva Brocardova tačka ako važi da su uglovi između duži
,
i
i stranica
,
i
redom, jednaki, tj.
Tačka P je prva Brocardova tačka u trouglu
, a ugao
Brokardov ugao trougla.
Postoji i druga Brocardova tačka
, trougla
takva da su jednaki uglovi između duži
,
,
i stranica
,
i
redom, tj.
- Teorema
Za svaki trougao postoje prva i druga Brocardova tačka.
Dokaz
Pretpostavimo da je T tačka takva da važi
tada je
Dobijamo da tačka T pripada geometrijskom mjestu tačaka, tj. ona je na luku pod kojim se duž
vidi pod istim uglom. Nacrtajmo cijelu kružnicu koja prolazi kroz tačke
,
,
. To je
. Na isti način nacrtajmo kružnicu
.
Izabereno tačku U tako da važi:
U presjeku ove dvije kružnice dobijamo prvu Brocardovu tačku, jer za presječnu tačku
važi:
Drugu Brocardovu tačku nalazimo analogno
Za Brocardov ugao ω važi jednakost:
Dokaz
Obilježimo sa P Brocardovu tačku trougla
. Iz sinusne teoreme dobijamo da važi:
i
Iz ranije dokazanog
i
Dijeljenjem prve jednačine drugom dobijamo da je

Iz sinusne teoreme znamo da važi
Daljnjim sređivanjem dobijamo traženo tvrđenje.
- Teorema
Važi:
, gdje je P površina trougla
.
Trilinearne koordinate Brocardovih tačaka[uredi | uredi izvor]
Neka je
tetivni četvorougao. Prave
i
sijeku se u tački E, prave
i
u tački F, a prave
i
u tački G. Dokazati da je centar opisane kružnice oko četvorougla
ortocentar trougla
.
- Dokaz
Neka je četvorougao abcd upisan u jediničnu kružnicu. Prema teoremi o presjeku tetiva jedinične kružnice
[Teorema o presjeku tetiva jedinične kružnice
Presjek tetiva
i
jedinične kružnice je tačka
]
važe jednakosti:


.
Da bismo pokazali da je
ortocentar trougla efg, dovoljno je pokazati da je
i
.
Zbog simetrije, dovoljno je dokazati




Konjugovanjem dobijamo
Upoređivanjem dobijenih jednakosti dobijamo traženu jednakost, a time je
dokazana Brocardova teorema.