Brocardove tačke

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Jump to navigation Jump to search
Brocardove tačke dobijene od dodirnih tačaka tri kruga.

U geometriji Brocardove tačke su posebne tačke u okviru jednog trougla. Ime su dobile po francuskom matematičaru Henriju Brocardu (18451922). U trouglu tačka P je prva Brocardova tačka ako važi da su uglovi između duži , i i stranica , i redom, jednaki, tj.

Tačka P je prva Brocardova tačka u trouglu , a ugao Brokardov ugao trougla.

Postoji i druga Brocardova tačka , trougla takva da su jednaki uglovi između duži , , i stranica , i redom, tj.

Teorema

Za svaki trougao postoje prva i druga Brocardova tačka.

Dokaz

Brocard1.png

Pretpostavimo da je T tačka takva da važi tada je

Dobijamo da tačka T pripada geometrijskom mjestu tačaka, tj. ona je na luku pod kojim se duž vidi pod istim uglom. Nacrtajmo cijelu kružnicu koja prolazi kroz tačke , , . To je . Na isti način nacrtajmo kružnicu . Izabereno tačku U tako da važi:

U presjeku ove dvije kružnice dobijamo prvu Brocardovu tačku, jer za presječnu tačku važi:

Drugu Brocardovu tačku nalazimo analogno

Za Brocardov ugao ω važi jednakost:

Dokaz

Obilježimo sa P Brocardovu tačku trougla . Iz sinusne teoreme dobijamo da važi:

i

Iz ranije dokazanog

i

Dijeljenjem prve jednačine drugom dobijamo da je

Iz sinusne teoreme znamo da važi

Daljnjim sređivanjem dobijamo traženo tvrđenje.

Teorema

Važi: , gdje je P površina trougla .

Trilinearne koordinate Brocardovih tačaka[uredi | uredi izvor]

Neka je tetivni četvorougao. Prave i sijeku se u tački E, prave i u tački F, a prave i u tački G. Dokazati da je centar opisane kružnice oko četvorougla ortocentar trougla .

Dokaz

Neka je četvorougao abcd upisan u jediničnu kružnicu. Prema teoremi o presjeku tetiva jedinične kružnice

[Teorema o presjeku tetiva jedinične kružnice

Presjek tetiva i jedinične kružnice je tačka

]

važe jednakosti:

.

Da bismo pokazali da je ortocentar trougla efg, dovoljno je pokazati da je i .

Zbog simetrije, dovoljno je dokazati

Konjugovanjem dobijamo

Upoređivanjem dobijenih jednakosti dobijamo traženu jednakost, a time je dokazana Brocardova teorema.

Izvor[uredi | uredi izvor]