Cauchyjev test kondenzacije

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, Cauchyjev test kondenzacije je standarni test konvergencije za beskonačne redove. Za pozitivni, monotono opadajući niz f(n), suma

\sum_{n=1}^{\infty}f(n)

konvergira ako i samo ako suma

\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n})

konvergira. Staviše, u tom slučaju imamo

\sum_{n=1}^{\infty}f(n) < \sum_{n=0}^{\infty} 2^{n}f(2^{n}) < 2 \sum_{n=1}^{\infty}f(n).

Geometrijsko značenje je to da se aproksimira suma sa trapezoidima kod svakog 2^{n}. Drugo objašnjenje je da je, sa analogijom između konačnih suma i integrala, "kondenzacija" članova analogna sa substitucijom teksponencijalne funkcije. Ovo postaje jasnije u primjeru kao što je

\ f(n) = n^{-a} (\log n)^{-b} (\log \log n)^{-c}, .

Ovdje red definitivno konvergira za a > 1, a divergira za a < 1. Kada je a = 1, kondenzaciona trnsformacija daje red

\sum n^{-b} (\log n)^{-c}

Logaritmi se "pomijeraju u lijevo". Tako, kada imamo da je a = 1, imamo da red konergira za b > 1, a za b < 1 red divergira. Kada jeb = 1, isto važi za vrijednost c.

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]


Lebesgue Icon.svgOvaj članak, koji govori o matematičkoj analizi, je u začetku. Možete pomoći Wikipediji tako što ćete ga proširiti.