Cauchyjev test konvergencije

Cauchyjhev test konvergencije je metoda koja se koristi za testiranja konvergencije beskonačnih redova. Red

$\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}$

je konvergentan ako i samo ako za svaki $\varepsilon >0$ postoji broj N$\in \mathbb {N}$ takav da

$|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon$

važi za sve n > N i $p\geq 1$.

Test funkcionira pošto je red konvergentan ako i samo ako je parcijalna suma

$s_{n}:=\sum _{i=0}^{n}a_{i}$

Cauchyjev niz: za svako $\varepsilon >0$ postoji broj N, takav da za sve n, m > N važi

$|s_{m}-s_{n}|<\varepsilon .$

Možemo pretpostaviti da vrijedi m > n, te zbog toga vrijedi p = m - n. Red je konvergentan ako i samo ako vrijedi

$|s_{n+p}-s_{n}|=|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon .$

Također pogledajte

• Red (matematika)
• Konvergentni red

Ovaj članak sadrži materijal o Cauchyjevom kriteriju konvergencije sa PlanetMath-a, koji je licenciran po GFDL-u.