Cotlar–Steinova lema

U matematici, u oblasti funkcionalne analize, Cotlar–Steinova lema skore ortogonalnosti, koja je naziv dobila po matematičarima Mischai Cotlaru i Eliasu Steinu. Može se koristiti za dobijanje informacija o operatorskoj normi operatora, koji djeluje iz jednog Hilbertovog prostora u drugi, kada se operator može razložiti u skoro ortogonalne dijelove.

Originalnu verziju ove leme (za samopridružene i međusobno komutativne operatore) dokazao je Mischa Cotlar 1955. godine, što ga je dovelo do zaključka da je Hilbertova transformacija neprekidni linearni operator u $L^{2}$$L^{2}$, bez korištenja Fourierove transformacije.

Cotlar–Steinova lema skore ortogonalnosti

Neka $E,\,F$$E,\,F$ budu dva Hilbertova prostora. Razmotrimo familiju operatora $T_{j}$$T_{j}$, $j\in \mathbb {Z}$$j\in \mathbb {Z}$, gdje je svaki $T_{j}$$T_{j}$ neprekidni linearni operator iz $E$$E$ u $F$$F$.

Naznačimo

$a_{jk}=\Vert T_{j}T_{k}^{\ast }\Vert _{F\to F},\qquad b_{jk}=\Vert T_{j}^{\ast }T_{k}\Vert _{E\to E}.$$a_{jk}=\Vert T_{j}T_{k}^{\ast }\Vert _{F\to F},\qquad b_{jk}=\Vert T_{j}^{\ast }T_{k}\Vert _{E\to E}.$

Familija operatora $T_{j}:\;E\to F$$T_{j}:\;E\to F$, $j\in \mathbb {Z} ,$$j\in \mathbb {Z} ,$ je skoro ortogonalna ako je

$A=\max _{j}\sum _{k}{\sqrt {a_{jk}}}<\infty ,\qquad B=\max _{j}\sum _{k}{\sqrt {b_{jk}}}<\infty .$$A=\max _{j}\sum _{k}{\sqrt {a_{jk}}}<\infty ,\qquad B=\max _{j}\sum _{k}{\sqrt {b_{jk}}}<\infty .$

Cotlar-Steinova lema kaže da ako je $T_{j}$$T_{j}$ skoro ortogonalno, tada red $\sum _{j\in \mathbb {Z} }T_{j}$$\sum _{j\in \mathbb {Z} }T_{j}$ konvergira u topologiji jakog operatora, i da je

$\Vert \sum _{j\in \mathbb {Z} }T_{j}\Vert _{E\to F}\leq {\sqrt {AB}}.$$\Vert \sum _{j\in \mathbb {Z} }T_{j}\Vert _{E\to F}\leq {\sqrt {AB}}.$

Primjer

Slijedi primjer ortogonalne familije operatora. Razmotrimo matrice beskonačnih dimenzija

$T=\left[{\begin{array}{cccc}1&0&0&\vdots \\0&1&0&\vdots \\0&0&1&\vdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\ddots \end{array}}\right]$$T=\left[{\begin{array}{cccc}1&0&0&\vdots \\0&1&0&\vdots \\0&0&1&\vdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\ddots \end{array}}\right]$

i, također

$\qquad T_{1}=\left[{\begin{array}{cccc}1&0&0&\vdots \\0&0&0&\vdots \\0&0&0&\vdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\ddots \end{array}}\right],\qquad T_{2}=\left[{\begin{array}{cccc}0&0&0&\vdots \\0&1&0&\vdots \\0&0&0&\vdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\ddots \end{array}}\right],\qquad T_{3}=\left[{\begin{array}{cccc}0&0&0&\vdots \\0&0&0&\vdots \\0&0&1&\vdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\ddots \end{array}}\right],\qquad \dots .$$\qquad T_{1}=\left[{\begin{array}{cccc}1&0&0&\vdots \\0&0&0&\vdots \\0&0&0&\vdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\ddots \end{array}}\right],\qquad T_{2}=\left[{\begin{array}{cccc}0&0&0&\vdots \\0&1&0&\vdots \\0&0&0&\vdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\ddots \end{array}}\right],\qquad T_{3}=\left[{\begin{array}{cccc}0&0&0&\vdots \\0&0&0&\vdots \\0&0&1&\vdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\ddots \end{array}}\right],\qquad \dots .$

Tada je $\Vert T_{j}\Vert =1$$\Vert T_{j}\Vert =1$ za svako $j$$j$, odakle slijedi da red $\sum _{j\in \mathbb {N} }T_{j}$$\sum _{j\in \mathbb {N} }T_{j}$ ne konvergira u topologiji uniformnog operatora.

Ipak, pošto je $\Vert T_{j}T_{k}^{\ast }\Vert =0$$\Vert T_{j}T_{k}^{\ast }\Vert =0$ i $\Vert T_{j}^{\ast }T_{k}\Vert =0$$\Vert T_{j}^{\ast }T_{k}\Vert =0$ za $j\neq k$$j\neq k$, Cotlar-Steinova lema skore ortogonalnosti govori nam da

$T=\sum _{j\in \mathbb {N} }T_{j}$$T=\sum _{j\in \mathbb {N} }T_{j}$

konvergira u topologiji jakog operatora, te da je ograničen sa 1.

Reference

• Mischa Cotlar, A combinatorial inequality and its application to $L^{2}$$L^{2}$ spaces, Math. Cuyana 1 (1955), 41-55
• Elias Stein, Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals. Princeton University Press, 1993. ISBN 0-691-03216-5

Vanjski linkovi

• http://www.math.tamu.edu/~comech/papers/CotlarStein/CotlarStein.pdf (en)