Definicija i teorema

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Osnovni pojmovi;definicije i teoreme:

P: Paralelogram je centralno simetrična figura Q:Romb je paralelogram PQ:Romb je centralno simetričan

U geometriji osnovni pojmovi su tačka, prava i ravan; a osnovne relacije (regulišu neke osnovne veze između objekata ) su pripada, leži na. Za ostale pojmove uvode se definicije . definisati neki pojam znaći objasniti neki pojam uz pomoć osnovnih i već ranije definisanih pojmova.

Definicija[uredi | uredi izvor]

Definicija je ispravna u matematici samo onda kada ona sadrži osnovne pojmove koje smo ranije definisali.

Pri definisanju treba se čuvati greške;

  1. Kada u definiciji koristimo isti pojam samo pod drugim imenom. npr: prave su normalne ako su okomite.( normalno i okomito isto značenje)
  2. Kada definišemo termin B pomoću termina A ili nekog drugog izvedenog termina A* a da pri tome nije definisan npr: pravi ugao je ugao koji čine dvije okomite prave.

U definiciji Dvije prave su okomite ako one ćine pravi ugao nije definisan ni jedan od ova dva pojma.

Genus i specifične odlike- razlike[uredi | uredi izvor]

Primjer: Paralelogram je četverougao kome su naspramne stranice paralelne.

Iz ove definicije proizlazi

  1. paralelogram je četverougao
  2. skup paralelograma je podskup skupa četverouglova
  3. paralelogram je vrsta četverouglačije su naspramne stranice paralelne.

To znaći da je pojam četverougla genus (rod tj šira grupa) za pojam paralelograma.

Naspramne stranice su paralelne –specifična odlika (odlika vrste) paralelograma po kojima se paralelogrami razlikuju od četverouglova. Svaka definicija sadrži genus i specifična odlika

Definicija: Kružnica je skup tačaka koje su jednako udaljene od stalne tačke nije ispravna jer nije navedeno da se te tačke nalaze u jednoj ravni, ovo je definicija lopte; treba reći skup tačaka ravni.

Definicija: paralelogram je četverougao kome su naspramne stranice paralelne i jednake- nije ispravna jer je suvišno rečeno jednake. Naspramne stranice samim tim što su paralelne i jednake. Definicija: paralelogram je četverougao kome su naspramne stranice paralelne i jednake- nije ispravna jer je suvišno rečeno jednake. Naspramne stranice samim tim što su paralelne i jednake su. Matematika rezultate svojih dokazivanja i zaključivanja formuliše u logičke sudove (stavove). Pri izvođenju nekih stavova polazimo od početnih stavova. Ove početne stavove nazivamo aksiome. U matematičkoj teoriji njihov broj je mali.

Primjer

  • Datom tačkom A prolazi jedna i samo jedna prava paralelna datoj pravoj.

Pri izboru aksioma bitno je da su one saglasne našem iskustvu.

Treba razlikovati definicije i teoreme. Teoremama tvrdimo pa ih dokazujemo. Definicijama sporazumno dajemo naziv nekom pojmu. Za njh se ne postavlja pitanje istinitosti nego pitanje da li odgovaraju tačno pojmovima koje definišemo i da li su dovoljno prikladne- pogodne. Nema smisla govoriti o dokazivanju.

Teoreme[uredi | uredi izvor]

Teorem je iskaz u kojem se uočava da neki matematički pojam (uz, možda, još neke uvjete) ima još neke karakteristike osim onih datih u definiciji tog pojma i ta se tvrdnja mora dokazati. Dok se tvrdnja ne dokaže, tu tvrdnju zovemo propozicijom, hipotezom.

Na neki način se dokazane propozicije dijele na tri grupacije (ovo nije stroga matematička podjela, nego čisto zbog lakšeg razumijevanja.

Pod pojmom teorema podrazumjevamo istinit stav ali tu istinitost treba dokazati. Dokazati teoremu znaći izvesti je formalno logički iz predhodno usvojenih aksioma, definicija i teorema. Izgradnja neke matematičke teorije sastoji se upravo u tome. Najčešće se izražava u implikacijskom obliku P Q. (p je hipoteza (pretpostavka), a q zaključak ( tvrdnja).

Primjer P zbir uglova trougla je 1800 ovo nije implikacijski oblik. Implikacijski oblik je: ako su α β γ uglovi trougla onda je

α+ β+γ=180x0

Prva jezički sažetija ,a druga matematički korisnija. U vezi teorema imamo p q teorema q p obratna teorema ¬'Q ¬P kontrapozicija ¬P ¬Q suprotna teorema Tautologija je formula koja je uvijek istinita. Ako su dvije prave normalne na treću pravu c u jednoj ravni onda su one paralelne. p: a,b iz α a norm c & b norm c q: a║b pretpostavimo da nije a║b tada bi se prave a i b sjekle u tački A. Pošto je a norm c & b norm c znaći tačkom C prolaze 2 prave normalne na pravu c Osnovu geometrije kao i svake druge matematičke nauke čine

  1. skup osnovnih termina koje se ne dokazuju
  2. skup osnovnih stavova – aksioma koji se ne dokazuju

Svi drugi termini se dokazuju.

Dokaz teoreme[uredi | uredi izvor]

Logički dokazati teoremu znači dokazati da je to logička posljedica predhodno utvrđenih stavova- teorema i aksioma. Vrste dokaza:

  1. Matematička indukcija
  2. Progresivni sintetički dokaz
  3. Regresivni analitički dokaz
  4. Indirektni

Matematička indukcija[uredi | uredi izvor]

1.faza provjerimo stav ili formulu u kojoj formuliše n iz N a koji želimo dokazati za neki prirodni broj n = k0 najčešće za k0 =1 2.faza pretpostavimo istinitost za n = k0 i na osnovu te tvrdnje da važi za n = k+1

3.faza ako je utvrđeno1) i 2) zaključujemo da tvrdnja koju dokazujemo vrijedi za svako n> k0

progresivni sintetički dokaz[uredi | uredi izvor]

Treba dokazati p =>q

p =>q1 =>q2=>q3 =>... =>q

U ovom lancu sudova javljaju se neki novi sudovi ( aksiome i teoreme)koje smo ranije dokazali i na koje treba da se pozovemo

regresivni (analitički) dokaz[uredi | uredi izvor]

Ide se obrnutim putem q =>p1 =>p2 =>p3 =>... =>p

Indirektni[uredi | uredi izvor]

Dokazujemo pretpostavkom da teorema nije istinita i dolazimo do netačne pretpostavke.

Lema[uredi | uredi izvor]

Lema je jednostavan teorem. Koristi se samo za dokazivanje složenih teoreme. Ona nema neku korist. Sama po sebi nije nešto posebno, posebno ako je koristimo ponovo na samu sebe i time dokaže da je tačna tvrdnja koju dokazujemo .

Korolar[uredi | uredi izvor]

Korolar je dokazana teorema koja slijedi direktno iz nekog prethodnog teorema.




E-to-the-i-pi.svg Nedovršeni članak Definicija i teorema koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.