Definicija i teorema

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Osnovni pojmovi;definicije i teoreme:

P: Paralelogram je centralno simetrična figura Q:Romb je paralelogram PQ:Romb je centralno simetričan

U geometriji osnovni pojmovi su tačka, prava i ravan; a osnovne relacije (regulišu neke osnovne veze između objekata ) su pripada, leži na. Za ostale pojmove uvode se definicije . definisati neki pojam znaći objasniti neki pojam uz pomoć osnovnih i već ranije definisanih pojmova.

Definicija[uredi | uredi izvor]

Definicija je ispravna u matematici samo onda kada ona sadrži osnovne pojmove koje smo ranije definisali.

Pri definisanju treba se čuvati greške;

  1. Kada u definiciji koristimo isti pojam samo pod drugim imenom. npr: prave su normalne ako su okomite.( normalno i okomito isto značenje)
  2. Kada definišemo termin B pomoću termina A ili nekog drugog izvedenog termina A* a da pri tome nije definisan npr: pravi ugao je ugao koji čine dvije okomite prave.

U definiciji Dvije prave su okomite ako one ćine pravi ugao nije definisan ni jedan od ova dva pojma.

Genus i specifične odlike- razlike[uredi | uredi izvor]

Primjer: Paralelogram je četverougao kome su naspramne stranice paralelne.

Iz ove definicije proizlazi

  1. paralelogram je četverougao
  2. skup paralelograma je podskup skupa četverouglova
  3. paralelogram je vrsta četverouglačije su naspramne stranice paralelne.

To znaći da je pojam četverougla genus (rod tj šira grupa) za pojam paralelograma.

Naspramne stranice su paralelne –specifična odlika (odlika vrste) paralelograma po kojima se paralelogrami razlikuju od četverouglova. Svaka definicija sadrži genus i specifična odlika

Definicija: Kružnica je skup tačaka koje su jednako udaljene od stalne tačke nije ispravna jer nije navedeno da se te tačke nalaze u jednoj ravni, ovo je definicija lopte; treba reći skup tačaka ravni.

Definicija: paralelogram je četverougao kome su naspramne stranice paralelne i jednake- nije ispravna jer je suvišno rečeno jednake. Naspramne stranice samim tim što su paralelne i jednake. Definicija: paralelogram je četverougao kome su naspramne stranice paralelne i jednake- nije ispravna jer je suvišno rečeno jednake. Naspramne stranice samim tim što su paralelne i jednake su. Matematika rezultate svojih dokazivanja i zaključivanja formuliše u logičke sudove (stavove). Pri izvođenju nekih stavova polazimo od početnih stavova. Ove početne stavove nazivamo aksiome. U matematičkoj teoriji njihov broj je mali.

Primjer

  • Datom tačkom A prolazi jedna i samo jedna prava paralelna datoj pravoj.

Pri izboru aksioma bitno je da su one saglasne našem iskustvu.

Treba razlikovati definicije i teoreme. Teoremama tvrdimo pa ih dokazujemo. Definicijama sporazumno dajemo naziv nekom pojmu. Za njh se ne postavlja pitanje istinitosti nego pitanje da li odgovaraju tačno pojmovima koje definišemo i da li su dovoljno prikladne- pogodne. Nema smisla govoriti o dokazivanju.

Teoreme[uredi | uredi izvor]

Teorem je iskaz u kojem se uočava da neki matematički pojam (uz, možda, još neke uvjete) ima još neke karakteristike osim onih datih u definiciji tog pojma i ta se tvrdnja mora dokazati. Dok se tvrdnja ne dokaže, tu tvrdnju zovemo propozicijom, hipotezom.

Na neki način se dokazane propozicije dijele na tri grupacije (ovo nije stroga matematička podjela, nego čisto zbog lakšeg razumijevanja.

Pod pojmom teorema podrazumjevamo istinit stav ali tu istinitost treba dokazati. Dokazati teoremu znaći izvesti je formalno logički iz predhodno usvojenih aksioma, definicija i teorema. Izgradnja neke matematičke teorije sastoji se upravo u tome. Najčešće se izražava u implikacijskom obliku P Q. (p je hipoteza (pretpostavka), a q zaključak ( tvrdnja).

Primjer P zbir uglova trougla je 1800 ovo nije implikacijski oblik. Implikacijski oblik je: ako su α β γ uglovi trougla onda je

α+ β+γ=180x0

Prva jezički sažetija ,a druga matematički korisnija. U vezi teorema imamo p q teorema q p obratna teorema ¬'Q ¬P kontrapozicija ¬P ¬Q suprotna teorema Tautologija je formula koja je uvijek istinita. Ako su dvije prave normalne na treću pravu c u jednoj ravni onda su one paralelne. p: a,b iz α a norm c & b norm c q: a║b pretpostavimo da nije a║b tada bi se prave a i b sjekle u tački A. Pošto je a norm c & b norm c znaći tačkom C prolaze 2 prave normalne na pravu c Osnovu geometrije kao i svake druge matematičke nauke čine

  1. skup osnovnih termina koje se ne dokazuju
  2. skup osnovnih stavova – aksioma koji se ne dokazuju

Svi drugi termini se dokazuju.

Dokaz teoreme[uredi | uredi izvor]

Logički dokazati teoremu znači dokazati da je to logička posljedica predhodno utvrđenih stavova- teorema i aksioma. Vrste dokaza:

  1. Matematička indukcija
  2. Progresivni sintetički dokaz
  3. Regresivni analitički dokaz
  4. Indirektni

Matematička indukcija[uredi | uredi izvor]

Princip matematičke indukcije koji glasi: Ako neka tvrdnja vrijedi za broj \ 1, i ako iz pretpostavke da vrijedi za neki prirodni broj \ n. možemo pokazati da vrijedi i za \ n+1 za \ n \in N

Dokaz matematičkom indukcijom se provodi u tri koraka

1.faza provjerimo stav ili formulu u kojoj formuliše n iz N a koji želimo dokazati za neki prirodni broj n = k0 najčešće za k0 =1 2.faza pretpostavimo istinitost za n = k0 i na osnovu te tvrdnje da važi za n = k+1

3.faza ako je utvrđeno1) i 2) zaključujemo da tvrdnja koju dokazujemo vrijedi za svako n> k0

Ovom metodom dokazuju se tvrdnje o jednakostima, nejednakostima, nizovima... Primjer

\ 1+2+3+... n = \frac{n(n+1)}{2})
za \ n=1
\ 1=\frac{1*2}{2})
neka važi za \ n
Dokažimo za \ n+1
\ 1+2+3+... n+(n+1) = \frac{n(n+1)}{2})+(n+1)= \frac{(n+1)(n+2)}{2})

Historija matematičke indukcije[uredi | uredi izvor]

Najraniji tragovi matematičke indukcije implicitno su sadržani u Euklidovim dokazima na primjer u dokazu da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva (300. p.n.e.). U IX knjizi Euklidovih prostih brojeva ima beskonačno mnogo

Euklid ovu tvrdnju dokazuje uzimajući za proste brojeve A, B, C i pokazuje da je ABC+1 novi prost broj G. Zaključak dokaza je: „Dobili smo proste brojeve A, B, C G što je više od predpostavljenih“

Euklidu je nedostajao algebarski jezik neophodan za uopšteniji indukcijski korak, a umjesto toga ga je predstavljao u konkretnom slučaju.

Prva eksplicitna formulacija javlja se kod Paskala. On je u svojoj knjizi (1654. god.) upotrebio metod kompletne indukcije u vezi sa aritmetičkim trouglom, koji nosi njegovo ime, i njegovim primjenama

    	\binom{n}{k}= 	\binom{n-1}{k-1}+ 	\binom{n-1}{k}

Veliki doprinos u nastajanju matematičke indukcije dali su arapski matematičari. Implicitni dokaz indukcijom za aritmetičke nizove uveo je al-Karaji oko1000.god. a nastavio je al-Samaw’al koji je koristio za specijalne slučajeve binomne teoreme i osobine Paskalovog trougla. Khayyam (1048–1131) je napisao značajnu Studiju o rješavanju algebarskih problema (1070. god.). posebno je izveo opšti metod za rješavanje kubnih jednačina. U Studiji on je pisao o trougaonom nizu i binomnim koeficijentima poznatim kao Paskalov trougao.

Takođe značajan doprinos su dali i indijski matematičari. Bhaskara (1114 -1185. god.) izveo je ciklični metod za rješavanje neodređene kvadratne jednačine oblika     	ax^2+bx+c=0                  u kome se javlja matematička indukcija.

Naznake metoda matematičke indukcije mogu se naći u radu F. Mavrolikosa (1494- 1575) u knjizi I njegove Aritmetike iz 1545.god. Mavrolikos u svojoj knjizi počinje definicijama različitih vrsta brojeva kao što su:

  1. Parni brojevi
  2. Neparni brojevi
  3. Trougaoni brojevi ( n-ti (po veličini) trouglasti broj je zbir prirodnih brojeva od 1 do n )
  4. Kvadratni brojevi
  5. Numeri parte altera longories (N.P.A.L.) ( N-ti (po veličini) N.P.A.L. broj je proizvod n(n-1))

...

Prirodni Neparni Parni Trouglasti Kvadratni NPAL
1 1 2 1 1 0
2 3 4 3 4 2
3 5 6 6 9 6
4 7 8 10 16 12
5 9 10 15 25 20
6 11 12 21 36 30
7 13 14 28 49 42

Nakon ovih definicija slijede teoreme u vezi sa uvedenim vrstama brojeva.

Teorema IV

Neparni brojevi se dobijaju iz jedinice uzastopnim dodavanjem broja 2. n-ti neparan broj +2= sljedeći neparan broj N_n +2=N_{n+1}

Teorema X

2T_n= L_{n+1}

Teorema X

L_n+n= K_n

Teorema XI
T_n + T_{n-1}=K_n
Teorema XIII
K_n+N_{n+1}=K_{n+1}
Teorema XV
N_1+N_2+....+N_n=K_n
Dokaz teoreme XI

Prvi kvadratni broj je 1, koji je ujedno i neparan dodamo drugom neparnom broju 3 dobijamo drugi kvadratni broj 4.

1+3=4
4+5=9
9+7=16

Tako neograničenom primjenom Teoreme XIII dokazujemo da je tačna tvrdnja Izloženi dokaz jasno ukazuje na začetak metode matematičke indukcije u obliku u kome je i danas koristimo.

Sve do XVII vijeka nije pronađena zadovoljavajuća formulacija metode, kada se javila u radu Pjera Fermaa(1601- 1665) i Bleza Paskala (1623-1662) Ferma je koristio svoju verziju matematičke indukcije, poznatiju kao “metod spusta“, u dokazu čuvene poslednje teoreme. Teorema glasi Ne postoje cjelobrojna rešenja jednačine

x^2+y^2=z^2 za koje je \frac{xy}{2} kvadrat

Ferma pretpostavlja suprotno od onoga što želi da dokaže kao hipotezu.

On pretpostavlja da takva rješenja postoje. Izostavljajući veći dio dokaza on glasi:

„Dakle, ako postoje dva kvadrata takva da su njihovi zbir i razlika takođe kvadrati, takođe će postojati druga dva kvadrata koji će imati istu osobinu, ali će imati manji zbir. Po istom principu nalazimo zbir opet manji od predhodne i nastavljamo do beskonačnosti nalazeći kvadrate cijelih brojeva sve manje i manje koji imaju istu osobinu. To je međutim ne moguće, jer ne postoji beskonačan niz brojeva manjih nego bilo koji ceo broj koji zamislimo.’’ Fermaova strategija je bila da dokaže postojanje beskonačno opadajućeg niza kvadrata brojeva iz negiranja teoreme. Pošto strogo opadajući niz prirodnih brojeva ne postoji, Ferma je pokazao da negiranje teoreme dovodi do kontradikcije i time je teorema tačna. Fermaov metod poznat kao metod spusta je obrnuti oblik matematičke indukcije, jer on podrazumjeva spust, a ne uspon prirodnih brojeva. Glavna odlika ove metode je da je pretpostavka da neprazan skup prirodnih brojeva sadrži najmanji element i to je ono što ga čini ekvivalentnim sa matematičkom indukcijom.

Nakon Fermaa, matematička indukcija je ponekad bila poznata kao Fermaova indukcija, mada je zahvaljujući Paskalu dobijena prva zadovoljavajuća formulacija, tj moderna forma matematičke indukcije. Ona se pojavljuje u kratkoj knjizi koju je Paskal objavio 1654. god. o aritmetičkim trouglovima koji nose njegovo ime. Paskal je bio upoznat sa radom Mavrolikosa i njegovom aritmetikom. On je u nekoliko navrata koristio metod kompletne indukcije u vezi sa svojim aritmetičkim rouglom i njegovim primjenama

Poslije Paskala i Fermaa matematička indukcija je postala standardni metod dokazivanja među matematičarima. Naziv matematička indukcija Dao je De Morgan 1838. god

Regresivna indukcija[uredi | uredi izvor]

Istinitost nekog metoda P(n), za svako n po metodu regresivne indukcije slijedi iz:

  1. P(n) je tacno za beskonacno mnogo prirodnih brojeva n
  2. za sve prirodne brojeve (n >1)P(n)= >P(n-1) je tacan iskaz.

Primjer Dokazati da za sve prirodne brojeve n i sve nenegativne realne brojeve a_1, a_2,...a_n vazi nejednakost aritmeticke i geometrijske sredine

  \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}  \ge         \sqrt[n]{a_1*a_2*...*a_n}

Prvo matematickom indukcijom po k dokazujemo da tvrdjenje vazi za sve prirodne brojeve oblika n=2^k, k \in N. za k=1 (n=2) imamo   \frac{a_1+a_2}{2}  \ge         \sqrt{a_1*a_2}

a_1+a_2\ge 2\sqrt{a_1*a_2}

a_1-2 \sqrt{a_1*a_2}+a_2 \ge 0

(\sqrt{a_1}-\sqrt{a_2})^2\ge 0 To znaci nejednakoxt vazi za

n\in \begin{Bmatrix}2,2^2,2^3,...\end{Bmatrix}

Pretpostavimo sada da je nejednakost tačna za neki prirodan broj n i izaberimo

a_n =\frac{1}{n-1}(a_1+a_2+...a_{n-1})

\frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}+ \frac{a_1+a_2+...a_{n-1}}{n-1}}{n}\ge \sqrt[n]{a_1*a_2...a_n\frac{a_1+a_2+...a_{n-1}}{n-1}}

\frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}}{n}\ge \sqrt[n]{a_1*a_2...a_{n-1}} \sqrt[n]{ \frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}}{n-1}}

(\frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}}{n})^{1-\frac{1}{n}}\ge \sqrt[n]{a_1*a_2...a_{n-1}}

\frac{a-1+a_2+...+a_{n-1}}{n-1} \ge \sqrt[n-1]{a_1*a_2...a_{n-1}}

Dokazalismo da nejednakost vazi i za n-1, pa zakljucujemo da vazi za sve prirodne brojeve. U datoj nejednakosti za n\ge 2 jednaskost važi ako i samo ako je a_1=a_2=...a_n .

Rekurentna indukcija[uredi | uredi izvor]

Postoje tvrdnje koje se dokazuju metodom matematicke indukcije, ali je pri dokazivanju indukcijskog koraka prakticnije pretpostaviti P(n-k), P(n-k+1),...P(n) i dokazati P(n+1). Drugacije rečeno, ne cini se korak sa n ka n+1, većc sa nekoliko k koji prethode n+1 ka n+1. Ako indukcijski korak ima k pretpostavki ovaj princip se moze zapisati:

P(1)\land P(2)\land  ...\land P(k)(\forall n \ge k )(P_{(n-k)}\land ...\land P(n)=> P{(n+1)})(\forall n \in N )P_n

Ovaj princip matematicke indukcije je ekvivalentan osnovnom principu.

Primjer

Nela je

a_1=4
a_2=12, ...
a_{n+2}= 4a_{n+1-4a_n} za n \ge 1

Dokazati

a_n=2^n-n*2^n
a_1=2^1+1*2^1=2+2=4 i a_2=2^2+2*2^2=4+8=12 za n=1 i n=2
vazi za n i n+1
a_{n+2}=4 (a_{n+1} -a_n)=4 (2^{n+1}+(n+1)2^{n+1}-2^n - n2^n)=

4*2^n(2+2n+2-1-n)=2^{n+2}(3+n)=2^{n+2}[(2+n)+1]=2^{n+2}+(n+2)2^{n+2} Jednakost vrijedi za sve prirodme brojeve

Transfinitna indukcija[uredi | uredi izvor]

Kod pojedinih tvrdnji o prirodnim brojevima za dokaz da važi (\forall n \in N)P(n) treba dokazati sljedece

  1. P(1) tacan iskaz
  2. \forall n \in N) ako su P(1),...,P(n) tacni iskazi onda je P(n+1) tacan iskaz.

Ova indukcija se zapisuje na sljedeci nacin

P(1) \land (\forall n \in N)(\forall k \le n)P(k) = > P(n+1)= > (\forall n \in N)P(n)

Primjer Dokazati da je svaki prirodan broj n\ge 2 prost ili je proizvod prostih brojeva.

  1. za n=2 broj 2 je prost pa je tvrdnja tacna.
  2. neka je n\ge 2 prirodan broj i neka tvrdnja vaz za k < n. broj n je prost pa je tvrdnja tacna.

Ako je slozen broj onda je n=k_1k_2 za k_1 i k_2 prirodne brojeve manje od n. Za k_1 i k_2 vazi indukcijska pretpostavka pa su oni prosti brojevi. ili proizvod prostih brojeva pa je n=k_1*k_2.

Progresivni sintetički dokaz[uredi | uredi izvor]

Treba dokazati p =>q

p =>q1 =>q2=>q3 =>... =>q

Primjer

Ako je   f : R \rightarrow  R  funkcija data sa   f (x) = ax + b, a \ne  0  onda je funkcija f injekcija.

  x_1\ne x_2 \land a \ne  0 pretpostaka
  x_1\ne x_2 \land a \ne  0 = > f(x_1)\ne  f(x_2)= > ax_1 \ne ax_2 =>ax_1+b \ne ax_2+b

Dokazana tvrdnja.

Primjer

Zbir dva racionalna broja je racionalan broj Neka su data dva racionalna broja r = \frac{p}{q} \land q \ne 0  \land s = \frac{u}{v} \land v \ne 0

 r+s = \frac{p}{q} +  \frac{u}{v}= \frac{pv+qu}{qv}   \land qv \ne 0

Ovim je tvrdnja dokazana

regresivni (analitički) dokaz[uredi | uredi izvor]

Ide se obrnutim putem q =>p1 =>p2 =>p3 =>... =>p

Indirektni[uredi | uredi izvor]

Dokazujemo pretpostavkom da teorema nije istinita i dolazimo do netačne pretpostavke.

((P \land {\neg Q} = > F ))= > (P = > Q)
Primjer

Postoji beskonačno mnogo prostih brojeva.

Dokaz.

Pretpostavimo suprotno, da je skup prostih brojeva konačan, tj. postoji najveći prosti broj  p
Zato su svi prosti brojevi 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . , p.

posmatrajmo broj
:q=2*3*4...*p+1

Broj  q je veći od broja  p pa ne može biti prost broj jer je prema pretpostavci  p najveći prost broj. Budući da je  q složen broj on se može prikazati kao proizvod prostih brojeva, pa mora biti djeljiv s barem jednim prostim brojem, dakle nekim od brojeva  2, 3, 5, . . . , p .
To je u suprotnosti s pretpostavljenim oblikom broja  q . Time smo dokazali polaznu tvrdnju.

Lema[uredi | uredi izvor]

Lema je jednostavan teorem. Koristi se samo za dokazivanje složenih teoreme. Ona nema neku korist. Sama po sebi nije nešto posebno, posebno ako je koristimo ponovo na samu sebe i time dokaže da je tačna tvrdnja koju dokazujemo .

Korolar[uredi | uredi izvor]

Korolar je dokazana teorema koja slijedi direktno iz nekog prethodnog teorema.


E-to-the-i-pi.svg Nedovršeni članak Definicija i teorema koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.