Dirichletov integral

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na navigaciju Idi na pretragu

U matematici, postoji nekoliko integrala poznatih pod naziv Dirichletov integral, a naziv su dobili po njemačkom matematičaru Peteru Gustavu Lejeuneu Dirichletu.

Jedan od takvih je

Ovo se može dokazati korištenjem Fourierove transformacije. Također, može se vrlo jednostavno izračunati korištenjem diferencijacijom pod znakom integrala.

Dokaz uz korištenje diferencijacije pod znakom integrala[uredi | uredi izvor]

Prvo ćemo integral napisati kao funkciju proizvoljne konstante, i .

Neka je

Zatim trebamo naći nam daje

Primjenom Leinnizovog integracionog pravila,

Ovaj integral može se učiniti jednostavnijim ako upotrijebimo Eulerovu formulu

Tada

, gdje predastavlja imaginarni dio.

Sad integral glasi:

Tako da je,

Integracijom obe strane od do

Note that

Tako da je,

Tada

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]