Eksponencijalno opadanje

Količina koja prolazi kroz eksponencijalni pad. Veće konstante pada uzrokuju da količina nestaje mnogo brže. Ovaj grafikon prikazuje pad za konstantu pada ( $λ$ ) od 25, 5, 1, 1/5 i 1/25 za $x$ od 0 do 5.

Veličina je podložna eksponencijalnom raspadu ako se smanjuje brzinom proporcionalno u odnosu na svoju trenutnu vrijednost. Simbolično, ovaj proces se može izraziti sljedećom diferencijalnom jednačinom, gdje je $N$ količina, a $λ$ (lambda) je pozitivna brzina koja se naziva eksponencijalna konstanta pada, konstanta dezintegracije,^[1] konstanta brzine,^[2] ili konstanta transformacije:^[3]

{\frac {dN(t)}{dt}}=-\lambda N(t).

Rješenje ove jednačine ispod je:

N(t)=N_{0}e^{-\lambda t},

gdje $N (t)$ je količina u trenutku $t$ , $N 0 = N (0)$ je početna količina, odnosno količina u trenutku $t = 0$ .

Mjerenje stope opadanja

Srednji vijek trajanja

Ako je količina raspada, N(t), broj diskretnih elemenata u određenom skupu, moguće je izračunati prosječno vrijeme koliko element ostaje u skupu. To se naziva srednji vijek trajanja (ili jednostavno životni vijek), gdje se eksponencijalna vremenska konstanta, $\tau$ , odnosi na konstantu brzine raspada, λ, na sljedeći način:

\tau ={\frac {1}{\lambda }}.

Srednji vijek trajanja može se posmatrati kao "vrijeme skaliranja", jer se jednačina eksponencijalnog raspada može napisati u terminima srednjeg vijeka trajanja, τ, umjesto konstante raspada, λ;:

N(t)=N_{0}e^{-t/\tau },

i da je $\tau$ vrijeme u kojem se populacija skupa smanjuje na 1⁄e ≈ 0,367879441 puta njegova početna vrijednost. Ovo je ekvivalentno $\log _{2}{e}$ ≈ 1,442695 vremena poluraspada.

Naprimjer, ako je početna populacija skupa, N(0), 1000, tada je populacija u trenutku $\tau$ , $N(\tau )$ , je 368.

Vrlo slična jednačina će se vidjeti u nastavku, koja nastaje kada se baza eksponencijalne funkcije odabere da bude 2, umjesto e. U tom slučaju vrijeme skaliranja je "vrijeme poluraspada".

Vrijeme poluraspada

Intuitivnija karakteristika eksponencijalnog raspada za mnoge ljude je vrijeme potrebno da veličina koja se raspada padne na polovinu svoje početne vrijednosti. (Ako je N(t) diskretno, onda je ovo medijana vremena života, a ne prosječno vrijeme života.) Ovo vrijeme se naziva vrijeme poluraspada i često se označava simbolom t_1/2. Vrijeme poluraspada može se napisati u smislu konstante raspada ili prosječnog vremena života, kao:

t_{1/2}={\frac {\ln(2)}{\lambda }}=\tau \ln(2).

Kada se ovaj izraz ubaci za $\tau$ u gornjoj eksponencijalnoj jednačini, i ln 2 se apsorbuje u bazu, ova jednačina postaje:: $N(t)=N_{0}2^{-t/t_{1/2}}.$

Dakle, količina preostalog materijala je 2⁻¹ = 1/2 podignuto na (cijeli ili razlomljeni) broj prošlih vremena poluraspada. Dakle, nakon 3 vremena poluraspada bit će 1/2³ = 1/8 originalnog materijala koji je ostao.

Stoga, prosječni vijek trajanja $\tau$ jednako je vremenu poluraspada podijeljenom s prirodnim logaritmom od 2, ili:

\tau ={\frac {t_{1/2}}{\ln(2)}}\approx 1.4427\cdot t_{1/2}.

Naprimjer, polonij-210 ima vrijeme poluraspada od 138 dana i prosječno vrijeme života od 200 dana.

Rješenje diferencijalne jednačine

Jednačina koja opisuje eksponencijalni raspad je:

{\frac {dN(t)}{dt}}=-\lambda N(t)

ili, preuređivanjem (primjenom tehnike koja se naziva razdvajanje varijabli),: ${\frac {dN(t)}{N(t)}}=-\lambda dt.$

Integrirajući, imamo

\ln N=-\lambda t+C\,

gdje C je konstanta integracije, i stoga

N(t)=e^{C}e^{-\lambda t}=N_{0}e^{-\lambda t}\,

gdje je konačna zamjena, N₀ = e^C, se dobija evaluacijom jednačine pri t = 0, jer je N₀ definisano kao količina pri t = 0.

Ovo je oblik jednačine koji se najčešće koristi za opisivanje eksponencijalnog raspada. Bilo koja od konstante raspada, srednjeg vijeka trajanja ili vremena poluraspada dovoljna je za karakterizaciju raspada. Oznaka λ za konstantu raspada je ostatak uobičajene oznake za svojstvenu vrijednost. U ovom slučaju, λ je svojstvena vrijednost negativne vrijednosti diferencijalnog operatora sa N(t) kao odgovarajućom svojstvenom funkcijom.

Izvođenje srednjeg vijeka trajanja

S obzirom na skup elemenata, čiji se broj na kraju smanjuje na nulu, srednji vijek trajanja, $\tau$ , (također nazvan jednostavno životni vijek) je očekivana vrijednost vremena prije nego što se objekt ukloni iz sklopa. Konkretno, ako je individualni životni vijek elementa sklopa vrijeme proteklo između nekog referentnog vremena i uklanjanja tog elementa iz sklopa, srednji životni vijek je aritmetička sredina pojedinačnih životnih vijekova. Počevši od formule populacije

N=N_{0}e^{-\lambda t},\,

Neka je c faktor normalizacije za pretvaranje u funkciju gustoće vjerovatnoće:

1=\int _{0}^{\infty }c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=c\cdot {\frac {N_{0}}{\lambda }}

ili, prilikom preuređivanja,

c={\frac {\lambda }{N_{0}}}.

Eksponencijalno opadanje je skalarni višekratnik eksponencijalne distribucije (tj. individualni životni vijek svakog objekta je eksponencijalno raspoređen), koji ima dobro poznatu očekivanu vrijednost. Možemo je izračunati ovdje koristeći integraciju po dijelovima.

\tau =\langle t\rangle =\int _{0}^{\infty }t\cdot c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=\int _{0}^{\infty }\lambda te^{-\lambda t}\,dt={\frac {1}{\lambda }}.

Raspad u dva ili više procesa

Veličina se može raspadati u dva ili više različitih procesa istovremeno. Općenito, ovi procesi (često nazvani "modovi raspada", "kanali raspada", "putevi raspada" itd.) imaju različite vjerovatnoće da se dese, te se stoga dese različitim brzinama s različitim vremenima poluraspada, paralelno. Ukupna brzina raspada količine N data je zbirom puteva raspada; dakle, u slučaju dva procesa:

-{\frac {dN(t)}{dt}}=N\lambda _{1}+N\lambda _{2}=(\lambda _{1}+\lambda _{2})N.

Rješenje ove jednačine dato je u prethodnom odjeljku, gdje je zbir $\lambda _{1}+\lambda _{2}\,$ tretira se kao nova konstanta ukupnog raspada $\lambda _{c}$ .

N(t)=N_{0}e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})t}=N_{0}e^{-(\lambda _{c})t}.

Parcijalni srednji vijek trajanja povezan s pojedinačnim procesima je po definiciji multiplikativna inverzija odgovarajuće parcijalne konstante raspada: $\tau =1/\lambda$ . Kombinirano $\tau _{c}$ može se dati u terminima λ:

{\frac {1}{\tau _{c}}}=\lambda _{c}=\lambda _{1}+\lambda _{2}={\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}

\tau _{c}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}+\tau _{2}}}.

Budući da se vrijeme poluraspada razlikuje od srednjeg vremena raspada $\tau$ konstantnim faktorom, ista jednačina važi u smislu dva odgovarajuća vremena poluraspada:

T_{1/2}={\frac {t_{1}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}}

gdje $T_{1/2}$ je kombinirano ili ukupno vrijeme poluraspada za proces, $t_{1}$ and $t_{2}$ su takozvana djelimična vremena poluraspada odgovarajućih procesa. Termini "djelimično vrijeme poluraspada" i "djelomično srednje vrijeme raspada" označavaju količine izvedene iz konstante raspada kao da je dati način raspada jedini način raspada za tu količinu. Termin "djelomično vrijeme poluraspada" je obmanjujući, jer se ne može mjeriti kao vremenski interval za koji je određena količina prepolovljena.

U smislu odvojenih konstanti raspada, ukupno vrijeme poluraspada $T_{1/2}$ može se pokazati da je

T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.

Za raspad sa tri istovremena eksponencijalna procesa, ukupno vrijeme poluraspada može se izračunati kao što je gore navedeno:

T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}={\frac {t_{1}t_{2}t_{3}}{(t_{1}t_{2})+(t_{1}t_{3})+(t_{2}t_{3})}}.

Serija raspada / spregnuti raspad

U nuklearnoj nauci i farmakokinetici, agens od interesa može se nalaziti u lancu raspada, gdje je akumulacija regulisana eksponencijalnim raspadom izvornog agensa, dok se sam agens od interesa raspada eksponencijalnim procesom.

Ovi sistemi se rješavaju korištenjem Batemanove jednačine.

U farmakološkom okruženju, neke unesene supstance mogu se apsorbovati u tijelo procesom koji se razumno modelira kao eksponencijalni raspad ili mogu biti namjerno formulisana da bi imale takav profil oslobađanja.

Primjene i primjeri

Eksponencijalni raspad se javlja u širokom spektru situacija. Većina njih spada u domen prirodnih nauka.

Mnogi procesi raspada koji se često tretiraju kao eksponencijalni, zapravo su eksponencijalni samo dok je uzorak velik i važi zakon velikih brojeva. Za male uzorke potrebna je opštija analiza, koja uzima u obzir Poissonov proces.

Prirodne nauke

Hemijske reakcije: Brzine reakcije određenih tipova hemijskih reakcija zavise od koncentracije jednog ili drugog reaktanta. Reakcije čija brzina zavisi samo od koncentracije jednog reaktanta (poznate kao reakcije prvog reda) posljedično slijede eksponencijalni pad. Na primjer, mnoge reakcije enzimima (katalizom) se ponašaju na ovaj način.
Elektrostatika: U RC kolu, električni naboj (ili, ekvivalentno, potencijal) sadržan u kondenzatoru (kapacitet C) prazni se kroz konstantno vanjsko opterećenje (otpor R) s eksponencijalnim opadanjem i slično se puni s ogledalskom slikom eksponencijalnog opadanja (kada se kondenzator puni iz konstantnog izvora napona kroz konstantni otpor). Eksponencijalna vremenska konstanta za proces je $\tau =R\,C,$ $\tau =R\,C,$ , tako da je vrijeme poluraspada primijenjeno na dualne struje u induktoru.
- Nadalje, poseban slučaj kondenzatora ili induktora koji se mijenja kroz nekoliko paralelnih otpornika predstavlja zanimljiv primjer višestrukih procesa raspada, pri čemu svaki otpornik predstavlja zaseban proces. U stvari, izraz za ekvivalentni otpor dva otpornika u paralelnoj vezi odražava jednačinu za vrijeme poluraspada s dva procesa raspada.
Geofizika: Atmosferski pritisak se smanjuje približno eksponencijalno s povećanjem visine iznad nivoa mora, brzinom od oko 12% na 1000 m.
Prijenos toplote: Ako je objekt na jednoj temperaturi izložen mediju druge temperature, temperaturna razlika između objekta i medija slijedi eksponencijalni raspad (u granici sporih procesa; ekvivalentno "dobroj" provodljivosti toplote unutar objekta, tako da njegova temperatura ostaje relativno ujednačena kroz njegov volumen). Pogledajte također Newtonov zakon hlađenja.
Luminescencija: Nakon pobuđivanja, intenzitet emisije – koji je proporcionalan broju pobuđenih atoma ili molekula – luminiscentnog materijala opada eksponencijalno. Ovisno o broju uključenih mehanizama, raspad može biti mono- ili multieksponencijalan.
Farmakologija i toksikologija: Utvrđeno je da se mnoge primijenjene supstance distribuiraju i metaboliziraju (vidi klirens) prema eksponencijalnim obrascima raspada. biološki poluživoti "alfa poluživot" i "beta poluživot" supstance mjere koliko se brzo supstanca distribuira i eliminira.
Radioaktivnost: U uzorku radionuklida koji prolazi kroz radioaktivni raspad u drugo stanje, broj atoma u prvobitnom stanju slijedi eksponencijalni raspad sve dok je preostali broj atoma velik. Produkt raspada naziva se radiogeni nuklid.
Termoelektričnost: Opadanje otpora negativnog temperaturnog koeficijenta termistora kako se temperatura povećava.
Vibracija: Neke vibracije mogu eksponencijalno opadati; ova karakteristika se često nalazi kod prigušenih mehaničkih oscilatora i koristi se u kreiranju ADSR omotača u sintezitatorima. Preprigušen sistem će se jednostavno vratiti u ravnotežu putem eksponencijalnog raspada.
Pjena od piva: Arnd Leike sa Univerziteta Ludwig Maximilian u Münchenu osvojio je Nobelovu nagradu za demonstraciju da se pjena piva pokorava zakonu eksponencijalnog raspada.^[4]

Društvene nauke

Finansije: penzioni fond će eksponencijalno opadati zbog diskretnih isplata, obično mjesečnih, a ulaz će biti podložan kontinuiranoj kamatnoj stopi. Diferencijalna jednačina dA/dt = ulaz − izlaz može se napisati i riješiti kako bi se pronašlo vrijeme potrebno za dostizanje bilo kojeg iznosa A, koji ostaje u fondu.
U jednostavnoj glotohronologiji, (diskutabilna) pretpostavka o konstantnoj stopi opadanja u jezicima omogućava procjenu starosti pojedinačnih jezika. (Izračunavanje vremena podjele između dva jezika zahtijeva dodatne pretpostavke, neovisno o eksponencijalnom opadanju).

Računarstvo

Osnovni protokol usmjeravanja na Internetu, BGP, mora održavati tabelu usmjeravanja kako bi zapamtio putanje na koje se paket može skrenuti. Kada jedna od ovih putanja više puta mijenja svoje stanje iz dostupno u nije dostupno (i obrnuto), BGP ruter koji kontroliše tu putanju mora više puta dodavati i uklanjati zapis putanje iz svoje tabele usmjeravanja (promjenjivati putanju), trošeći tako lokalne resurse kao što su CPU i RAM memorija sa slučajnim pristupom i, još više, emitujući beskorisne informacije peer ruterima. Da bi se spriječilo ovo neželjeno ponašanje, algoritam nazvan prigušenje promjenjivih promjena putanje dodjeljuje svakoj ruti težinu koja se povećava svaki put kada ruta promijeni svoje stanje i eksponencijalno opada s vremenom. Kada težina dostigne određenu granicu, mahanje se više ne vrši, čime se ruta potiskuje.

Također pogledajte

Eksponencijalna formula
Eksponencijalni rast
Radioaktivni raspad za matematiku lanaca eksponencijalnih procesa s različitim konstantama

Reference

↑ Serway, Moses i Moyer (1989, str. 384)
↑ Simmons (1972, str. 15)
↑ McGraw-Hill (2007)
↑ Leike, A. (2002). "Demonstration of the exponential decay law using beer froth". European Journal of Physics. 23 (1): 21–26. Bibcode:2002EJPh...23...21L. CiteSeerX 10.1.1.693.5948. doi:10.1088/0143-0807/23/1/304. S2CID 250873501 Provjerite vrijednost parametra |s2cid= (pomoć).

Dopunska literatura

McGraw-Hill Encyclopedia of Science & Technology (10th izd.). New York: McGraw-Hill. 2007. ISBN 978-0-07-144143-8. Zanemaren tekst "2007" (pomoć)
Serway, Raymond A.; Moses, Clement J.; Moyer, Curt A. (1989), Modern Physics, Fort Worth: Harcourt Brace Jovanovich, ISBN 0-03-004844-3
Simmons, George F. (1972), Differential Equations with Applications and Historical Notes, New York: McGraw-Hill, LCCN 75173716

Vanjski linkovi

[1] Serway, Moses i Moyer (1989, str. 384)

[2] Simmons (1972, str. 15)

[3] McGraw-Hill (2007)

[4] Leike, A. (2002). "Demonstration of the exponential decay law using beer froth". European Journal of Physics. 23 (1): 21–26. Bibcode:2002EJPh...23...21L. CiteSeerX 10.1.1.693.5948. doi:10.1088/0143-0807/23/1/304. S2CID 250873501 Provjerite vrijednost parametra |s2cid= (pomoć).

[1]

[2]

[3]

[4]