Funkcija (matematika)

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Za članak, koji govori o funkcijama i procedurama (podrutine) u programiranju, pogledajte članak funkcija (programiranje)
Grafik primjera funkcije,
\begin{align}&\scriptstyle f \colon [-1,1.5] \to [-1,1.5] \\ &\textstyle x \mapsto \frac{(4x^3-6x^2+1)\sqrt{x+1}}{3-x}\end{align}

Matematički koncept funkcije izražava zavisnost između dvije veličine, jedne, koja je zadata (nezavisna varijabla ili argument funkcije), i druge, koja se dobija (zavisna varijabla ili vrijednost funkcije). Funkcija prodružuje samo jedno rješenje za svaki argument funkcije koji se uzima iz fiksnog skupa, kao što su realni brojevi.

Historija[uredi | uredi izvor]

Funkcija kao matematički termin je prvi put objavio Gottfried Wilhelm Leibniz 1694. godine kako bi opisao količinu u relaciji prema krivoj. Te funkcije danas zovemo diferencijali.

Uobičajena notacija za funkciju je f(x), koju je prvi upotrebio švicarski matematičar Leonhard Euler.

Inverzna funkcija[uredi | uredi izvor]

Glavni članak: Inverzna funkcija

Ako je ƒ funkcija od X do Y, tada je inverzna funkcija za ƒ, označenasa ƒ−1, funkcija u suprotnom smijeru, od Y do X, sa osobinom da kompozicija) vraća svaki element u samog sebe. Svaka funkcija ne posjeduje svoju inverznu funkciju; one koje imaju nazivaju se inverzabilne.

Kao primjer, ako je ƒ konvertuje temperaturu iz Celzijusa u Fahrenheite, funkcija koja konvertuje stepene Fahrenheita u stepene Celzijusa bi bila odgovarajuća funkcija ƒ−1.

\begin{align}
 f(C) &= \tfrac95 C + 32 \\
 f^{-1}(F) &= \tfrac59 (F - 32)
\end{align}

Ispitivanje toka funkcije[uredi | uredi izvor]

Ispitati tok funkcije f(x) znači oidrediti sljedeće

Područje definicije[uredi | uredi izvor]

Za određivanje područja definicije funkcije f(x) potrebno je poznavati elementarne funkcije

Parnost[uredi | uredi izvor]

Parnost funkcije f(x) provjerava se pomoću definicije:

Funkcija f(x) je parna ako je f(-x)=f(x) za svaki x\in \mathcal{D}, a neparna ako je f(-x)=-f(x) za svaki x\in \mathcal{D}.

Kod parne i neparne funkcije područje definicije mora biti simetrično u odnosu na koordinantni početak O(0,0).

Primjer

\displaystyle x^n, \qquad n\in\mathbb{N}

je parna za n=2k paran, a neparna za n=2k+1 neparan pa je:

\displaystyle f(-x)=(-x)^n=(-1)^n x^n=(-1)^n f(x).

Funkcija \vert x\vert je parna: ako je x>0, tada je -x<0 pa vrijedi

\displaystyle \vert-x\vert=-(-x)=x=\vert x\vert

Za x<0 je -x>0 pa vrijedi

\displaystyle \vert-x\vert=-x=\vert x\vert

Periodičnost[uredi | uredi izvor]

Periodičnost funkcije provjerava se pomoću definicije

Funkcija f(x) je periodična ako postoji broj P\neq 0 takav da za svaki x\in \mathcal{D} vrijedi
\displaystyle f(x+P)=f(x)

Tada mora vrijediti x+P\in\mathcal{D}. Najmanji takav pozitivni broj P osnovni period ili period funkcije f(x).

Primjeri periodičnih funkcija su trigonometrijske funkcije.

Elementarna funkcija ne može biti periodićna ako ne sadrži neku od trigonometrijskih funkcija.

Nula funkcije[uredi | uredi izvor]

Nula funkcije određuju se rješavanjem jednačine f(x)=0

Asimptote funkcije[uredi | uredi izvor]

Asimptote mogu biti vertikalne, horizontalne i kose. Određuju se nalaženjem limesa i L'Hospitalovim pravilo, ako je potrebno.

Asimptota funkcije je prava sa osobinom da udaljenost između tačke na grafiku funkcije i te prave teži ka nuli (0) kada tačka na grafiku odmiće u beskonačnost.

Prava x=x_0 je vertikalna asimptota funkcije f(x)u tački x_0 s lijeve strane ako je \lim_{x\to x_0-0}f(x)=+\infty ili \lim_{x\to x_0-0}f(x)=-\infty.

Prava x=x_0 je vertikalna asimptota funkcije f(x) u tacki x_0 s desne strane ako je

\lim_{x\to x_0+0}f(x)=+\infty ili

\lim_{x\to x_0+0}f(x)=-\infty.

Vertikalne asimptote se mogu nalaziti u tačkama prekida funkcije ili u otvorenim rubovima područja definicije.

Primjer

Prava x=0 je vertikalna asimptota funkcije \frac{1}{x} s obje strane.

Prava x=0 je vertikalna asimptota funkcija \ln x, \log x i \log_2 x s desne strane. U ovom slučaju vertikalna asimptota se nalazi u rubu područja definicije.

Prava y=y_0 je horizontalna asimptota funkcije f(x) na lijevoj strani ako je \lim_{x\to -\infty}f(x)=y_0. Prava y=y_0 je horizontalna asimptota funkcije f(x) na desnoj strani ako je \lim_{x\to +\infty}f(x)=y_0.

Primjer

Prava y=0 je horizontalna asimptota funkcije \frac{1}{x} na obje strane, kao i y=0 horizontalna asimptota funkcija 2^x i e^x na lijevoj strani.

Ako je

\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}=k, \qquad \lim_{x\to -\infty} (f(x)-kx)=l,

pri čemu je

\displaystyle k\neq 0,-\infty,+\infty, \qquad l\neq -\infty,+\infty tada je prava y=kx+l kosa asimptota funkcije f(x) sa lijeve strane.

Kosu asimptotu funkcije f(x) sa desne strane definišemo analogno.

Udaljenost od tačke na krivoj do asimptote je d(M,L). Prema definiciji asimptote d(M,L)\to 0 kada x\to +\infty. Kako je \cos \alpha\neq 0 konstanta, zaključujemo da \displaystyle d(M,L)\to 0 \quad \Leftrightarrow \quad d(M,N)\to 0 \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x\to +\infty} \vert f(x)-(kx+l)\vert=0.

Zadnji uslov, koji je ekvivalentan sa

\displaystyle \lim_{x\to +\infty} (f(x)-kx-l)=0 je nužan i dovoljan uslov za postojanje kose asimptote.

Gornja jednakost je ekvivalentna sa

\lim_{x\to +\infty} (f(x)-kx)=l.

\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)-kx-l}{x}=0 pa je

 \lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}=k.

Pri tome treba voditi računa o sljedećem:

  1. kod traženja horizontalnih i kosih asimptota limese kada x\to -\infty i kada
  2. asimptote je najbolje tražiti u opisanom redosljedu, x\to +\infty uvijek treba računati posebno
  3. treba biti oprezan u slučaju parnih korjena kada x\to -\infty,
Primjer

\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{x^2}}{x}= -\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x^2}}{x}=-1.

Ekstremi funkcije[uredi | uredi izvor]

Kod određivanja ekstrema funkcije potrebno je provjeriti nžzne i dovoljne uslove ekstrema.

Provjera nužnih uslova vrši se po teoremi

Neka je funkcija f(x) neprekidna u tački c. Ako funkcija f(x) ima lokalni ekstrem u tački c, tada je c kritična tačka funkcije f(x).

Potrebno je nači stacionarne i kritične tačke po definiciji

Neka je funkcija f(x) neprekidna u tački c. Tačka c je stacionarna tačka funkcije f(x) ako je f'(c)=0. Tačka c je kritična tačka funkcije f(x) ako je c stacionarna tačka ili ako f(x) nije diferencijabilna u tački c.

Tj. potrebno je odrediti područje definicije prvog izvoda f'(x) i riješiti jednačinu f'(x)=0. Provjera dovoljnih uslova može se vršiti na tri nacina:

pomoću promjene predznaka prvog izvoda na osnovu teoreme

Ako prvi izvod f'(x) mijenja predznak u kritičnoj tački c, tada funkcija f(x) ima lokalni ekstrem u tački c. Pri tome vrijedi sljedeće
ako f'(x) mijenja predznak sa - na +, tada je f(c) lokalni minimum, a ako f'(x) mijenja predznak sa + na -, tada je f(c) lokalni maksimum.

pomoću drugog izvoda na osnovu teoreme

Neka je u stacionarnoj tački c funkcija f(x) dva puta diferencijabilna. Ako je f''(c)\neq 0, tada funkcija fx) ima lokalni ekstrem u tacki c. Pri tome vrijedi sljedeće
ako je f''(c)>0, tada je f(c) lokalni minimum, a ako je f''(c)<0, tada je f(c) lokalni maksimum.

pomoću viših izvoda na osnovu teoreme

Neka funkcija f(x) ima u nekoj \varepsilon -okolini tačke c neprekidnog izvoda do uključivo reda n, pri čemu je n\geq 3.
Neka je \displaystyle f''(c)=f'''(c)=\cdots=f^{(n-1)}(c)=0, \qquad f^{(n)}(c)\neq 0.
Ako je n neparan, tada funkcija f(x) ima infleksiju u tački c. Ako je n paran i ako je uz to još i f'(c)=0, tada funkcija f(x) ima lokalni ekstrem u tački c i to minimum za f^{(n)}(c)>0 i maksimum za f^{(n)}(c)<0.

Intervali monotonosti[uredi | uredi izvor]

Posto smo načli prvi izvod f'(x) funkcije f(x) intervale monotonosti određujemo određujuci predznak od f'(x) na osnovu teoreme

Neka je funkcija f(x) diferencijabilna na intervalu (a,b). Tada vrijedi
  1. funkcija f(x) je rastuća na intervalu (a,b) ako i samo ako je f'(x)\geq 0 za svaki x\in(a,b)
  2. Funkcija f(x) je opadajuća na intervalu (a,b) ako i samo ako je f'(x)\leq 0 za svaki x\in(a,b)
  3. Ako je f'(x)>0 za svaki x\in(a,b), tada je funkcija f(x) strogo rastuća na intervalu (a,b
  4. Ako je f'(x)<0 za svaki x\in(a,b), tada je funkcija f(x) strogo opadajuća na intervalu (a,b).

Konkavnost i konveksnost funkcije[uredi | uredi izvor]

Potrebno je odrediti drugi izvod f''(x),a onda intervale konveksnosti i konkavnosti pomoću teoreme

Neka je funkcija f(x) dva puta deiferencijabilna na intervalu (a,b). Ako je f''(x)>0 za svaki x\in(a,b), tada je funkcija f(x) strogo konveksna na intervalu (a,b). Ako je f''(x)<0 za svaki x\in(a,b), tada je funkcija f(x) strogo konkavna na intervalu (a,b).

Tačke infleksije[uredi | uredi izvor]

Potrebno je naći tačke u kojima drugi izvod f''(x)$ mijenja predznak, odnosno tačke koje ispunjavaju dovoljne uslove infleksije po teoremi

Neka je funkcija dva puta deferencijabilna na nekoj \varepsilon -okolini tačke c, osim možda u tački c. Ako f''(x) mijenja predznak u tački c, tada funkcija f(x) ima infleksiju u tački c.

Za provjeru dovoljnih uslova infleksije možemo koristiti i više izvode na osnovu teoreme

Neka funkcija f(x) ima u nekoj \varepsilon - okolini tačke c neprekidne izvode do uključivo reda n, pri čemu je n\geq 3. Neka je
\displaystyle f''(c)=f'''(c)=\cdots=f^{(n-1)}(c)=0, \qquad f^{(n)}(c)\neq 0.
Ako je n neparan, tada funkcija f(x) ima infleksiju u tački c.
Ako je n paran i ako je uz to još i f'(c)=0, tada funkcija f(x) ima lokalni ekstrem u tacki c i to minimum za f^{(n)}(c)>0 i maksimum za f^{(n)}(c)<0.

U tom slučaju potrebno je prvo naci tačke u kojima je drugi izvod f''(x) jednak nuli, odnosno tačke koje zadovoljavaju nužan uslov infleksije po teoremi

Ako funkcija f(x) ima infleksiju u tački c i ako f''(c) postoji, tada je f''(c)=0.

Graf funkcije[uredi | uredi izvor]

Grafik funkcije se crta na osnovu dobijenih informacija.

Ostale osobine[uredi | uredi izvor]

Postoji mnogo posebnih klasa funkcija koje su važne za pojedinačne grane matematike, ili za pojedinačne primjene.

Ovo je djelimičan spisak takvih funkcija:

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

Zabilješke[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]



E-to-the-i-pi.svg Nedovršeni članak Funkcija (matematika) koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.