Gradijent

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Na gornjim slikama, skalarno polje prikazano je crnom i bijelom područijem, s tim da crna odgovara većim vrijednostima, a njegov odgovarajući gradijent je predstavljen plavim strelicama.

U vektorskom kalkulusu, gradijent skalarnog polja je vektorsko polje koje pokazuje u pravcu najvećeg porasta skalarnog polja, te čiji je intenzitet najveća promjena u polju.

Generalizacija gradijenta, za funckije u Benchovom prostoru koje imaju vektorske vrijednosti, je Jakobijan.

Interpretacija gradijenta[uredi | uredi izvor]

Zamislimo sobu u kojoj je temperatura data sa skalarnim poljem , tako da je u svakoj tački temperatura (pretpostavit ćemo da se temperatura ne mijenja sa vremenom). Tada, u svakoj tački u sobi, gradijent u toj tački pokazat će smijer u kojem temperatura raste najbrže. Intenzitet gradijenta će odrediti kako se brzo temperatura povećava u tom pravcu.

Gradijent se, također, može koristit da se izmjeri kako se skalarno polje mijenja u drugim smjerovima (a ne samo u pravcu najveće promijene) korištenjem skalarnog proizvoda vektora. Zamilimo brdo sa najvećim nagibom od 40%. Ako cesta ide ravno uzbrdo, tada je najstrmiji nagib, također, 40%. Ako, međutim, cesta ide oko brda sa uglom u smijeru uspona (vektor gradijenta), tada će imati plići nagib. Naprimjer, ako je ugao između ceste u prvca uspona, projektovan na horizontalnu ravan, 60°, tada će najstrmiji nagib, koji se proteže duž ceste, biti 20%, štp se dobilo iz proizvoda 40% puta kosinus od 60°.

Formalna definicija[uredi | uredi izvor]

Gradijent (ili gradijent vektorskog polja) skalarne funkcije po vaktorskoj varijabli se označava kao ili gdje je (nabla simbol) označava vektorski diferencijalni operator, nabla operator. Oznaka se, također, koristi za označavanje gradijenta.

Prema definiciji, gradijent je vektorsko polje čije su komponente parcijalni izvodi funkcije . To jest:

Skalarni proizvod gradijenta u tački x sa vektorom v daje izvod po pravcu funkcije f u x u pravcu v.

Gradijent je nerotaciono vektorsko polje, te su linijski intergrali kroz gradientno polje nezavisni i mogu se izračunati pomoći gradijentnog teorema. Suprotno, nerotacijsko vektorsko polje u jednostvno povezanom regionu je uvijek gradijent funkcije.

Izrazi za gradijent u 3 dimenzije[uredi | uredi izvor]

Forma gradijenta zavisi od izabranog koordinatnog sistema.

U pravouglim koordinatama, gornji izraz se proširi na

U cilindričnim koordinatama:

(gdje je azimutalni ugao, a je osna koordinata).

U sfernim koordinatama:

(gdje je azimutalni ugao, a je zenitni ugao).

Primjer[uredi | uredi izvor]

Na primjer, gradijent u pravouglim koordinatama

je:

Gradijent i izvod ili diferencijal[uredi | uredi izvor]

Linearna aproksimacija funkcije[uredi | uredi izvor]

Gradijent funkcije iz Euklidovog prostora u i bilo kojoj tački x0 u karakteriše najbolju linearnu aproksimaciju od f u x0. Ta aproksimacija se zapisuje na sljedeći način:

za koje je blizu , gdje je gradijent funkcije f izračunat u , gdje tačka označava da se radi o skalarnom proizvodu .

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications. str. 157–160. ISBN 0-486-41147-8.