S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Za uređenu trojku
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle (a,b,c)}
prirodnih brojeva kažemo da je Heronova ako[[ trougao čije stranice imaju dužine a, b i c ima cjelobrojnu površinu. Smatračemo podudarnim Heronove trojke koje se dobijaju jedna iz druge permutacijom
Neki primjeri Heronovih trojki su:
(
3
,
4
,
5
)
{\displaystyle (3,4,5)}
(
5
,
5
,
6
)
{\displaystyle (5,5,6)}
(
13
,
14
,
15
)
{\displaystyle (13,14,15)}
(
11
,
13
,
20
)
{\displaystyle (11,13,20)}
Heronova trojka koja je aritmetički niz [ uredi | uredi izvor ] Neka je
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle (a,b,c)}
aritmetički niz .
Tada je
a
=
b
−
d
{\displaystyle a=b-d}
c
=
b
+
d
{\displaystyle c=b+d}
d
∈
N
{\displaystyle d\in N}
P
=
3
b
2
∗
b
−
2
d
2
∗
b
2
∗
2
b
+
2
d
2
=>
3
b
2
(
b
2
−
4
d
2
=
16
P
2
{\displaystyle P={\sqrt {{\frac {3b}{2}}*{\frac {b-2d}{2}}*{\frac {b}{2}}*{\frac {2b+2d}{2}}}}=>3b^{2}(b^{2}-4d^{2}=16P^{2}}
Smjenom
P
=
1
2
b
h
b
{\displaystyle P={\frac {1}{2}}bh_{b}}
b
2
{\displaystyle b^{2}}
3
b
2
(
b
2
−
4
d
2
)
=
4
h
b
2
{\displaystyle 3b^{2}(b^{2}-4d^{2})=4{h_{b}}^{2}}
Kako je
b
{\displaystyle b}
b
=
2
m
{\displaystyle b=2m}
m
∈
N
{\displaystyle m\in N}
3
(
m
2
−
d
2
)
=
4
h
b
2
{\displaystyle 3(m^{2}-d^{2})=4{h_{b}}^{2}}
Da bi rješenja bila iz skupa prirodnih brojeva mora biti
Za
k
=
1
{\displaystyle k=1}
(
m
−
d
)
(
m
+
d
)
=
3
{\displaystyle (m-d)(m+d)=3}
m
−
d
=
1
{\displaystyle m-d=1}
m
+
d
=
3
{\displaystyle m+d=3}
pa je
m
=
2
{\displaystyle m=2}
d
=
1
{\displaystyle d=1}
b
=
4
{\displaystyle b=4}
3
,
4
,
5
)
{\displaystyle 3,4,5)}
Pitagorina trojka Za
k
=
2
{\displaystyle k=2}
6
,
8
,
10
)
{\displaystyle 6,8,10)}
Za
k
=
3
{\displaystyle k=3}
9
,
12
,
15
)
{\displaystyle 9,12,15)}
(
5
,
28
,
41
)
{\displaystyle (5,28,41)}
Za
k
=
4
{\displaystyle k=4}
15
,
26
,
37
)
{\displaystyle 15,26,37)}
(
12
,
16
,
20
)
{\displaystyle (12,16,20)}
(
13
,
14
,
15
)
{\displaystyle (13,14,15)}
Ako su brojevi u Heronovoj trojci uzajamno prosti i ako ne čine Pitagorinu trojku, kazemo da je Heronova trojka prava. Odredimo uslove pri kojima se iz rješenja jednačine
m
2
−
d
2
=
3
k
2
{\displaystyle m^{2}-d^{2}=3k^{2}}
k
∈
N
{\displaystyle k\in N}
U slučaju da je vrijednost izraza
m
2
−
d
2
{\displaystyle m^{2}-d^{2}}
N
Z
D
(
m
−
d
,
m
+
d
)
=
1
{\displaystyle NZD(m-d,m+d)=1}
U slučaju da je vrijednost izraza
m
2
−
d
2
{\displaystyle m^{2}-d^{2}}
N
Z
D
(
m
−
d
,
m
+
d
)
=
2
{\displaystyle NZD(m-d,m+d)=2}
Neka je
N
Z
D
(
m
−
d
,
m
+
d
)
=
p
>=
2
{\displaystyle NZD(m-d,m+d)=p>=2}
Ako je
p
{\displaystyle p}
p
=
2
i
{\displaystyle p=2i}
i
∈
N
{\displaystyle i\in N}
i
>
1
{\displaystyle i>1}
m
−
d
=
2
i
q
{\displaystyle m-d=2iq}
m
−
d
=
2
i
r
{\displaystyle m-d=2ir}
r
>
q
{\displaystyle r>q}
r
,
q
∈
N
{\displaystyle r,q\in N}
b
=
2
i
(
q
+
r
)
{\displaystyle b=2i(q+r)}
d
=
i
(
r
−
q
)
{\displaystyle d=i(r-q)}
a
=
b
−
d
=
i
(
3
q
+
r
)
{\displaystyle a=b-d=i(3q+r)}
c
=
b
+
d
=
i
(
q
+
3
r
)
{\displaystyle c=b+d=i(q+3r)}
Brojevi
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
d
{\displaystyle d}
Heronove trojke sa uzastopnim članovima [ uredi | uredi izvor ] Poseban slucaj jednačine
m
2
−
d
2
=
3
k
2
{\displaystyle m^{2}-d^{2}=3k^{2}}
k
∈
N
{\displaystyle k\in N}
d
=
1
{\displaystyle d=1}
m
2
−
1
=
3
k
2
{\displaystyle m^{2}-1=3k^{2}}
Osnovno rješenje je
(
m
1
,
l
1
)
=
(
2
,
1
)
{\displaystyle (m_{1},l_{1})=(2,1)}
(
2
−
3
)
(
2
+
2
)
=
1
{\displaystyle (2-{\sqrt {3}})(2+{\sqrt {2}})=1}
(
m
n
−
k
n
3
)
(
m
n
+
k
n
3
)
=
(
2
−
3
)
n
(
2
+
3
)
n
=
1
{\displaystyle (m_{n}-k_{n}{\sqrt {3}})(m_{n}+k_{n}{\sqrt {3}})=(2-{\sqrt {3}})^{n}(2+{\sqrt {3}})^{n}=1}
n
∈
N
{\displaystyle n\in N}
m
n
=
2
n
+
(
n
2
)
2
n
−
2
(
3
)
2
+
(
n
4
)
2
n
−
4
(
3
)
4
+
.
.
.
{\displaystyle m_{n}=2^{n}+{\binom {n}{2}}2^{n-2}({\sqrt {3}})^{2}+{\binom {n}{4}}2^{n-4}({\sqrt {3}})^{4}+...}
Kako je
b
n
=
2
m
n
{\displaystyle b_{n}=2m_{n}}
b
n
=
∑
i
=
0
n
(
1
+
(
−
1
)
i
)
∗
(
n
i
)
∗
2
n
−
i
∗
3
i
/
2
=
(
2
+
3
)
n
(
2
−
3
)
n
{\displaystyle b_{n}=\sum _{i=0}^{n}(1+(-1)^{i})*{\binom {n}{i}}*2^{n-i}*3^{i/2}=(2+{\sqrt {3}})^{n}(2-{\sqrt {3}})^{n}}
što je uslov
a
n
=
b
n
−
1
{\displaystyle a_{n}=b_{n}-1}
c
n
=
b
n
+
1
{\displaystyle c_{n}=b_{n}+1}
U sljedećoj tabeli dato je prvih pet Heronovih trojki definisanih na ovaj nacin
n
a
n
{\displaystyle a_{n}}
b
n
{\displaystyle b_{n}}
c
n
{\displaystyle c_{n}}
O
n
{\displaystyle O_{n}}
1
3
4
5
6
2
13
14
15
84
3
51
52
53
1170
4
193
194
195
16296
5
723
724
725
226974
Rekurentna formula za niz površina Heronovih trouglova [ uredi | uredi izvor ] Posmatrajući posllednju kolonu prethodne tabele, empirijskom indukcijom može se zaključiti da važi formula
P
n
+
2
=
14
P
n
+
1
−
P
n
{\displaystyle P_{n+2}=14P_{n+1}-P_{n}}
Neka je
n
N
{\displaystyle n\ N}
b
n
{\displaystyle b_{n}}
Heronovog trougla kome su dužine stranica tri uzastopna prirodna broja. Primjenom Heronove formule može se izraziti niz površina
P
n
{\displaystyle P_{n}}
b
n
{\displaystyle b_{n}}
Nije teško utvrditi da je
P
n
=
3
4
b
n
b
n
2
−
4
{\displaystyle P_{n}={\frac {\sqrt {3}}{4}}b_{n}{\sqrt {{b_{n}}^{2}-4}}}
Za
b
n
=
(
2
+
3
)
n
+
(
2
−
3
)
n
{\displaystyle b_{n}=(2+{\sqrt {3}})^{n}+(2-{\sqrt {3}})^{n}}
P
n
=
3
4
(
(
7
+
4
3
)
n
−
(
7
−
4
3
)
n
)
)
{\displaystyle P_{n}={\frac {\sqrt {3}}{4}}((7+4{\sqrt {3}})^{n}-(7-4{\sqrt {3}})^{n}))}
14
P
n
+
1
−
P
n
=
14
∗
3
4
(
(
7
+
4
3
)
n
+
1
−
(
7
−
4
3
)
n
+
1
−
3
4
(
(
7
+
4
3
)
n
−
(
7
−
4
3
)
n
)
=
{\displaystyle 14P_{n+1}-P_{n}=14*{\frac {\sqrt {3}}{4}}((7+4{\sqrt {3}})^{n+1}-(7-4{\sqrt {3}})^{n+1}-{\frac {\sqrt {3}}{4}}((7+4{\sqrt {3}})^{n}-(7-4{\sqrt {3}})^{n})=}
3
4
(
(
7
+
4
3
)
n
+
2
−
(
7
−
4
3
)
n
+
2
)
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}((7+4{\sqrt {3}})^{n+2}-(7-4{\sqrt {3}})^{n+2})}
HERONOVE TROJKE KAO ARITMETIČKI NIZOVI
