Izračunavanje suma

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Jump to navigation Jump to search
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, red je suma elemenata niza. Ovaj članak spominje nekoliko uobičajnih redova, te način izračunavanja njihove vrjednosti (ili dokazuje da oni ne konvergiraju).

Aritmetički red[uredi | uredi izvor]

Prototip aritmetičkog reda je

,

suma prvih n prirodnih brojeva, za svaki prirodan broj n. Pošto je konačan, red konvergira, a njegova vrijednost se određuje korištenjem sljedeće tehnike. Možemo napisati sumu tako da članove "odbrojavamo unazad" umjesto da ih brojimo od prvog člana pa dalje; to jest, ako je gornji red S, tada je

Ako sada saberemo oba izraza imamo

Tako smo dobili osnovni identitet

(Kako bi bili apsolutno tačni, ako uzmemo da je 2 = 0, ova formul nema smisla; međutim, u tom slučaju suma se lahko može izračunati "inspekcijom" pošto se članovi nalaze između 0 i 1).

Ostali aritmetički redovi mogu se izračunati korištenjem ovog proračuna kao osnove. Za bilo koja dva data broja a, d (koji mogu biti integralni, realni, kompleksni, ili, u stvari, članovi bilo koje Aabelove grupe, možemo definisati aritmetičku progresiju sa početnim članom a i razlikom između članova d, čiji je opći član

Za fiksan cijeli broj n, može napraviti aritmetički red

,

sumu prvvih n članova ove progresije. Ako zamijenimo definiciju ai i iskoristimo linearnost sume, račun se svodi na onaj koji smo prethodno odradili:

Ovo se pojednostavljuje (koristeći definiciju od an) u

,

srednju vrijednost prvog i zadnjeg člana pomnoženu sa brojem članova.

Geometrijski red[uredi | uredi izvor]

Geometrijski red, kao i aritmetički red, može se definisati za svake brojeve (cijele, realne, kompleksne ili druge) a i r. Zbog pravila o stepenovanju ovi redovi teže da budu indeksovani od nule; a je početni član, a r je odnos (količnik) između susjednih članova. Tada red glasi

Kako bi izračunali ovaj red (ponovo označeno sa S), koristimo trik štimanja članova koji će se međusobno poništiti: ako pomnožimo red sa r i oduzmemo ga od početnog, dobijamo

Tako dobijamo opći izraz

(Ponovo, kako bi bili specifično precizni, moramo imati r različito od 1; u ovom slučaju, suma se jednostavno izračuna inspekcijom pošto je svaki stepen od i, također, jednak 1).

Ako (što je uobičajno) radimo sa realnim ili kompleksnim brojevima, te ako je , tada možemo tražiti limes kada n teži u beskonačnost. Ovim dobijamo izraz

Naravno, desna strana je definisana za svaki broj r različit od 1, ali samo kada je za jednako lijevoj strani. U ostalim slučajevima, red divergira (pošto mu opći član ne teži nuli).

Veći stepeni[uredi | uredi izvor]

Ostale česte familije redova su one sa sumama članova sa stepenima:

za pozitivne cijele brojeve k; aritmetički red imamo u slučaju da je k jednako 1. Ovo slikedi iz identiteta Bernoullijevih polinoma da se ove sume mogu izračunati pomoću izraza:

Iako se ova oblast čini praznom, to nije slučaj, pošto su Bernoullijevi polinomi jako drobro istraženi i njihovi koeficijenti, koji imaju veze sa Bernoullijevim brojevima, se veoma lahko izračunavaju.

Primjene Taylorovog reda[uredi | uredi izvor]

Taylorov red može se koristit da se pronađe suma određenih redova, koji nisu očiti na prvi pogled; po njihovoj prirodi, ovo su općenito beskonačni redovi. Postoji nekoliko dobro poznatih primjera:

  • ;

Ovo odmah ne važi; radijus konvergencije potencijalnog reda za je samo 1, i zbog toga ova suma leži na granici. Kako bi pokazali da je vrijednost potencijalnog reda jednaka vrijednosti funkcije potrebna je dalja analiza.

  • .

Koristeći binomni teorem, koji je veoma poseban slučaj Taylor ovog reda (ako jedinice) za funkciju za proizvoljne pozitivne realne brojeve r, možemo, također, dobiti

Također pogledajte[uredi | uredi izvor]