Jedinična matrica

Jedinična matrica je u linearnoj algebri naziv za kvadratnu matricu kojoj su elementi na glavnoj dijagonali jedinice, a ostali nule. Ova se matrica još naziva matricom identiteta, jer množenjem s drugim matricama daje upravo njih kao rezultat množenja tj. ne mijenja ih. Ova se matrica označuje velikim slovom E, a indeks koji može i ne mora stajati pored oznake označuje dimenziju iste. Oznaka za matricu identičnog preslikavanja je Id ili samo I.

$E_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ E_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ E_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

Što se, također, može definisati i Kroeneckerovom deltom:

$E_{n}=(\delta _{ij})_{i,j\in \{1,\ldots ,n\}}$,

gdje je:

$\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&,i=j\\0&,i\neq j\end{matrix}}\right.\quad {\mbox{sa }}i,j\in \{1,\ldots ,n\}$

Alternativni zapisi su:

$E_{ij}=\delta _{ij}$

$E=(\delta _{ij})$

Osobine

Množenje

Jedna od bitnih osobina jedinične matrice E_n nekog prostora K^{n × n} jest ta da je ona jedina za koju vrijedi:

$EA=AE=A,\;A\in K^{n\times n}$

Štaviše, vidi se da je matrica nad prostorom K^{n × n} komutativna, tj. nije bitno množi li se njome slijeva ili zdesna. Ovo ne vrijedi za prostore K^{n × m}, m ≠ n, gdje se ovom matricom može množiti samo slijeva odnosno samo zdesna.

Iz ove osobine također slijedi i:

$AA^{-1}=A^{-1}A=E$

Primjer:

${\begin{bmatrix}2&3&-2\\1&1&3\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&3&-2\\1&1&3\end{bmatrix}}$

Determinanta i inverzna matrica

Determinanta ove matrice je uvijek 1, dok je ona sama sebi inverz.

$|E|=1$

$E=E^{-1}$

Druga se osobina može dokazati na sljedeći način:

$EE^{-1}=E$, opće pravilo koje vrijedi za sve matrice

$E^{-1}EE^{-1}=E^{-1}E$, množenje slijeva sa E^-1

$\underbrace {E^{-1}E} _{E}E^{-1}=\underbrace {E^{-1}E} _{E}$, matrica pomnožena svojim inverzom uvijek daje E

$\underbrace {EE^{-1}} _{E^{-1}}=E$, matrica pomnožena jediničnom daje samu sebe

$E^{-1}=E$, kraj dokaza