Konvekcijsko-difuzijska jednačina

Konvekcijsko-difuzijska jednačina parabolička je parcijalna diferencijalna jednačina, koja opisuje fizičku pojavu kada se čestice ili energija (ili druge fizikalne veličine) prenose unutar fizičkog sistema zbog dva procesa: difuzije i konvekcije. U najjednostavnijem obliku (kada su koeficijent difuzije i brzina konvekcije konstantne vrijednosti), jednačina ima oblik

${\big .}\partial _{t}u=D\,\nabla ^{2}u-v\,\nabla u.$

Dva člana sa desne strane predstavljaju različite fizičke procese: prvi odgovara normalnoj difuziji, dok drugi opisuje konvekciju. Konstanta D je koeficijent difuzije, dok je v brzina konvekcije.

Derivacija

Jednačina se može jasno derivirati iz jednačine kontinuiteta, koja kaže da se promjena u gustini u bilo kojem dijelu sistema događa zbog protoka i materije, koja ulazi u taj dio sistema i izlazi iz njega. U tom procesu ne stvara se nova energija, niti se stara uništava:

$\partial _{t}u+\nabla \cdot {\vec {j}}=0,$

gdje je ${\vec {j}}$ protok difuzijske materije. Struja se može opisati koristeći se fenomenološkim Fickovim prvim zakonom, koji kaže da je protok difuzijske materije u bilo kojem dijelu sistema proporcionalan gradijentu lokalne gustine. Kada postoji konvekcija, protok, također, zavisi od njene brzine.

Sastavljajući ova dva člana, struja se može opisati kao

${\vec {j}}=-D\,\nabla u\ +{\vec {v}}u.$

Kombinacija ove dvije jednačine daju konvekcijsko-difuzijsku jednačinu.

Reference

• Granville Sewell, The Numerical Solution of Ordinary and Partial Differential Equations, Academic Press (1988). ISBN 0-12-637475-9