Konvergentan red

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Jump to navigation Jump to search
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Za članak o istoimenoj zbirci kratkih priča, pogledajte članak Konvergentan red (zbirka kratkih priča).

U matematici, red je suma članova niza brojeva.

Za dati niz , n-ta parcijalna suma je suma prvih n članova niza, to jest,

Red je konvergentan ako je niz njegovih parcijalnih suma konvergentan. U formalnijem jeziku, red konvergira ako postoji granična vrijednost takva da za svaki proizvoljan pozitivan broj , postoji veliki cijeli broj , takav da za sve vrijedi

Za niz, koji nije konvergentan, kaže se da je divergentan.

Primjeri konvergentnih i divergentnih redova[uredi | uredi izvor]

  • Recipročni brojevi stepena broja 2 () tvore konvergentan red (takav da je skup stepeni broja 2 "mali"):
  •  :
  • Recipročni brojvi pozitivnih cijelih brojeva tvore divergentan red:
  •  :
  • Alternirajući znakovi (+ i -, naizmjenično) recipročnih brojeva pozitivnih cijelih brojeva tvore konvergentan red:
  •  :
  • Recipročni prosti brojevi tvore divergentan red (takav da je skup prostih brojeva "veliki"):
  •  :
  • Recipročni kvadratni brojevi tvore konvergentan broj (Baselov problem):
  •  :
  • Alternirajući znakovi (+ i -, naizmjenično) recipročnih neparnih brojeva tvori konvergentan red:
  •  :

Testovi konvergencije[uredi | uredi izvor]

Glavni članak: Testovi konvergencije

Postoji nekoliko metoda, pomoću kojih možemo odrediti da li je red konvergentan ili divergentan.

Test poređenja. Članovi niza se upoređuju sa onim od drugog niza . Ako je,

za sve n, , i ako red konvergira, tada konvergira i red .

Međutim, ako,

za sve n, , i ako red divergira, tada divergira i red .

D'Alambertov test. Pretpostavimo da je za sve n, . Pretpostavimo da postoji takav da vrijedi

.

Ako je r < 1, tada red konvergira. Ako je r > 1, tada red divergira. Ako je r = 1, D'Alambertov test je neodlučan, te red i konvergirati divergirati (potrebna su dalja ispitivanja).

Cauchyjev korjeni test ili Test n-tog korjena. Pretpostavimo da su članovi niza nenegativni, te da postoji r takav da vrijedi

Ako je r < 1, tada red konvergira. Ako je r > 1, tada red divergira. Ako je r = 1, Cauchyjev korjeni test test je neodlučan, te red može i konvergirati i divergirati (potrebna su dalja ispitivanja).

Integralni test. Red se može uporediti sa integrallom kako bi odredili konvergenciju ili divergenciju. Neka bude pozitivna i monotono opadajuća funkcija. Ako vrijedi

tada dati red konvergira. Ali, ako integral divergira, tada i dati red divergira.

Test upoređivanje limesa. Ako je , a granična vrijednost postoji i nije nula, tada konvergira ako i samo ako konvergira.

Leibnizov test. Za alternativni red oblika , ako je monotono opadajuća funkcija, čija je granična vrijednost 0, tada red konvergira.

Cauchyjev test konvergencije. Ako je monotono opadajući niz, tada konvergira ako i samo ako konvergira.

Dirichletov test

Abelov test

Raabeov test

Uslovna i apsolutna konvergencija[uredi | uredi izvor]

Za svaki niz , za sve n. Odatle je

Ovo znači da ako konvergira, tada , također, konvergira (međutim, obrnuto ne vrijedi!).

Ako red konvergira, tada je red apsolutno konvergentan. Apsolutno konvergentan niz je onaj kod kojeg dužina linije, koja je nastala spajanjem svih prirasta na parcijalnu sumu, je konačno duga. Potencijlani red eksponencijalne funkcije je svuda apsolutno konvergentan.

Ako red konvergira, ali red divergira, tada je red uslovno konvergentan. Potencijalni red logaritma je uslovno konvergentan.

Riemannov teorem o redu kaže da ako je red uslovno konvergentan, moguće je njegove članove ispremiještati, tako da on bude konvergentan za svaku vrijednost, čak i da bude divergentan.

Uniformna konvergencija[uredi | uredi izvor]

Glavni članak: Uniformna konvergencija

Neka bude niz funkcija. Za red se kaže dda konvergira uniformno u f ako je niz parcijalnih suma definisan sa

konvergira uniformno u f.

Postoji analog testu poređenja za beskonačne redove funkcija koji se zove Weierstrassov M-test.

Cauchyjev test konvergencije[uredi | uredi izvor]

Cauchyjev kriterij konvergencije kaže da red

konvergira ako i samo ako je niz parcijalnih suma Cauchyjev niz. To znači da za svako postoji pozitivan cijeli broj takav da za svako imamo

što je ekvivalentno

Reference[uredi | uredi izvor]

  • Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGrawHill.
  • Spivak, Michael (1994). Calculus (3rd ed.). Houston, Texas: Publish or Perish, Inc. ISBN 0-914098-89-6.

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]