Kvadratni korijen iz 5

Spisak brojeva - Iracionalni brojevi ζ(3) - ${\sqrt {2}}$ - φ - √3 - √5 - α - e - π - δ
Binarni	10,0011110001101111...
Decimalni	2,23606797749978969...
Heksadecimalni numerički sistem	2,3C6EF372FE94F82C...
Neprekidni razlomak	$2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+\ddots }}}}}}}}$

Kvadratni korjen od 5 je pozitivni realan broj koji, kada se pomnoži sa samim sobom, daje prosti broj 5. Ovaj broj pojavljuje se u formuli za zlatni rez. Može se označiti u iracionalnom obliku kao:

${\sqrt {5}}.\,$

On je iracionalni algebarski broj. Prvih šezdeset značajnih decimala njegovog decimalnog proširenja su:

2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089... (niz A002163 u OEIS)

što se može zaokružiti na 2,236 sa tačnošću od 99,99%. Od aprila 1994. godine, njegova numerička vrijednost u decimalama izračunata je na najmanje jedan milion decimala.

Neprekidni razlomak

Ovaj broj može se izraziti kao neprekidni razlomak [2; 4, 4, 4, 4, 4...] (niz A040002 u OEIS) . Niz najboljih racionalnih aproksimacija je:

${\color {OliveGreen}{\frac {2}{1}}},{\frac {7}{3}},{\color {OliveGreen}{\frac {9}{4}}},{\frac {20}{9}},{\frac {29}{13}},{\color {OliveGreen}{\frac {38}{17}}},{\frac {123}{55}},{\color {OliveGreen}{\frac {161}{72}}},{\frac {360}{161}},{\frac {521}{233}},{\color {OliveGreen}{\frac {682}{305}}},{\frac {2207}{987}},{\color {OliveGreen}{\frac {2889}{1292}}},\dots$

Konvergenti neprekidnog razlomka napisani su u boji; njihovi brojnici predstavljaju niz A001077 , a njihovi nazivnici niz A001076 . Ostali (neobojeni) članovi su polukonvergenti.

Babilonski metod

Kada se ${\sqrt {5}}$ izračnava preko Babilonskog metoda, počevši od r₀ = 2, te koristeći r_n+1 = (r_n + 5/r_n) / 2, n-ti aproksimant r_n jednak je 2ⁿ-tom konvergentu konvergentnog niza:

${\frac {2}{1}}=2,0;\quad {\frac {9}{4}}=2,25;\quad {\frac {161}{72}}=2,23611\dots ;\quad {\frac {51841}{23184}}=2,2360679779\ldots$

Ramanujanovi identiteti

Kvadratni korjen od 5 pojavljuje se u raznim identitetima Ramanujana, uključujući neprekidne razlomke.

Na primjer, imamo slučaj Rogers–Ramanujanovog neprekidnog razlomka:

${\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).$

${\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-6\pi {\sqrt {5}}}}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({{\sqrt {5}} \over 1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}-\varphi \right)e^{2\pi /{\sqrt {5}}}.$

$4\int _{0}^{\infty }{\frac {xe^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,dx={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.$

Također pogledajte

• Zlatni rez
• Kvadratni korjen
• Kvadratni korjen od 2
• Kvadratni korjen od 3