Linearni sistem

U teoriji sistema, linearni sistem je matematički model sistema zasnovan na upotrebi linearnog operatora. Linearni sistemi obično pokazuju karakteristike i svojstva koja su mnogo jednostavnija od nelinearnog slučaja. Kao matematička apstrakcija ili idealizacija, linearni sistemi nalaze važne primjene u teoriji automatskog upravljanja, gobradi signala i telekomunikacijama. Naprimjer, propagacijski medij za bežične komunikacijske sisteme često se može modelirati linearnim sistemima.

Definicija

Opći deterministički sistem može se opisati operatorom, $H$ , koji preslikava ulaz, $x (t)$ , kao funkciju od $t$ na izlaz, $y (t)$ , tip opisa crnq kutije.

Sistem je linearan ako i samo ako zadovoljava princip superpozicije, ili ekvivalentno i svojstva aditivnosti i homogenosti, bez ograničenja (to jest, za sve ulaze, sve konstante skaliranja i svo vrijeme).^[1]^[2]^[3]^[4]

Princip superpozicije znači da linearna kombinacija ulaza u sistem proizvodi linearnu kombinaciju pojedinačnih izlaza u nultom stanju (to jest, izlaza koji postavljaju početne uslove na nulu) koji odgovaraju pojedinačnim ulazima.^[5]^[6]

U sistemu koji zadovoljava svojstvo homogenosti, skaliranje ulaza uvijek rezultira skaliranjem odziva nultog stanja za isti faktor.^[6] U sistemu koji zadovoljava svojstvo aditivnosti, dodavanje dva ulaza uvijek rezultira dodavanjem odgovarajuća dva odziva nultog stanja zbog pojedinačnih ulaza.^[6]

Matematički, za sistem sa kontinuiranim vremenom, data su dva proizvoljna ulaza

{\begin{aligned}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{aligned}}

kao i njihovi odgovarajući izlazi u nultom stanju

{\begin{aligned}y_{1}(t)&=H\left\{x_{1}(t)\right\}\\y_{2}(t)&=H\left\{x_{2}(t)\right\}\end{aligned}}

tada linearni sistem mora zadovoljiti

\alpha y_{1}(t)+\beta y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}

za bilo koje skalar vrijednosti $α$ i $β$ , za bilo koje ulazne signale $x 1 (t)$ i $x 2 (t)$ , i za sve vrijeme $t$ .

Sistem je tada definisan jednačinom $H (x (t)) = y (t)$ , gdje je $y (t)$ neka proizvoljna funkcija vremena, a $' x (t)$ je stanje sistema. Za date $y (t)$ i $H$ , sistem se može riješiti za $x (t)$ .

Ponašanje rezultujućeg sistema podvrgnutog složenom ulazu može se opisati kao zbir odgovora na jednostavnije ulaze. U nelinearnim sistemima ne postoji takva relacija. Ovo matematičko svojstvo čini rješavanje modelnih jednačina jednostavnijim od mnogih nelinearnih sistema. Za vremenski nepromjenjive sisteme ovo je osnova metoda impulsnog odziva ili frekventnog odziva (pogledajte LTI teoriju sistema), koje opisuju opću ulaznu funkciju $x (t)$ u terminima jediničnih impulsa ili frekventnih komponenti

Tipične diferencijalne jednačine linearnih vremenski nepromjenjivih sistema su dobro prilagođene analizi korištenjem Laplaceove transformacije u slučaju kontinuirane i Z-transformacija u slučaju diskretnog (posebno u računarskim implementacijama).

Druga perspektiva je da rješenja linearnih sistema obuhvataju sistem funkcija koje se ponašaju kao vektori u geometrijskom smislu.

Uobičajena upotreba linearnih modela je opisivanje nelinearnog sistema pomoću linearizacija. Ovo se obično radi radi matematičke praktičnosti. Prethodna definicija linearnog sistema primjenjiva je na SISO (jednostanvni-ulaz-izlaz) sisteme. Za MIMO (multiplz-ulaz-multipli-izlaz) sisteme, ulazni i izlazni signalni vektori ( ${\mathbf {x} }_{1}(t)$ , ${\mathbf {x} }_{2}(t)$ , ${\mathbf {y} }_{1}(t)$ , ${\mathbf {y} }_{2}(t)$ ) razmatraju se umjesto ulaznih i izlaznih signala ( $x_{1}(t)$ , $x_{2}(t)$ , $y_{1}(t)$ , $y_{2}(t)$ .)^[2]^[4]

|Ova definicija linearnog sistema je analogna definiciji linearne diferencijalne jednačine u interpretacijski račun i linearna transformacija u linearnoj algebri.

Primjeri

Jednostavan harmonijski oscilator se pokorava diferencijalnoj jednačini: $m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx.$

Ako $H(x(t))=m{\frac {d^{2}(x(t))}{dt^{2}}}+kx(t),$ onda je $H$ linearni operator. Uzmimo $y (t) = 0$ , diferencijalnu jednačinu možemo prepisati kao

H (x (t)) = y (t)

, što pokazuje da je jednostavan harmonijski oscilator linearni sistem.

Ostali primjeri linearnih sistema uključuju one opisane od strane

y(t)=k\,x(t)

,

y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}

,

y(t)=k\,\int _{-\infty }^{t}x(\tau )\mathrm {d} \tau

, i bilo koji sistem opisan običnim linearnim diferencijalnim jednačinama.^[4] Sistemi opisani prema :

y(t)=k

,

y(t)=k\,x(t)+k_{0}

,

y(t)=\sin {[x(t)]}

,

y(t)=\cos {[x(t)]}

,

y(t)=x^{2}(t)

,

{\textstyle y(t)={\sqrt {x(t)}}}

,

y(t)=|x(t)|

, i sistem sa izlazom neparne simetrije koji se sastoji od linearne regije i regije zasićenja (konstante), su nelinearni jer ne zadovoljavaju uvijek princip superpozicije.^[7]^[8]^[9]^[10]

Grafikon izlaza u odnosu na ulaz linearnog sistema ne mora biti prava linija kroz ishodište. Naprimjer, razmotrimo sistem opisan sa

Parsiranje nije uspjelo (sintaksna greška): {\displaystyle y(t) = k \, \frac{\mathrm dx(t)}{\mathrm dt} (kao što je konstantna kapacitivnost kondenzator ili konstantna induktivnost induktor). Linearan je jer zadovoljava princip superpozicije. Međutim, kada je ulaz sinusoidan, izlaz je također sinusoidan, pa je njegov grafikon izlaz-ulaz elipsa centrirana u ishodištu, a ne prava linija koja prolazi kroz ishodište.

Također, izlaz linearnog sistema može sadržavati harmonike (i imati manju osnovnu frekvenciju od ulaza) čak i kada je ulaz sinusoid. Naprimjer, razmotrimo sistem opisan sa $y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)$ . Linearan je jer zadovoljava princip superpozicije. Međutim, kada je ulaz sinusoid oblika Parsiranje nije uspjelo (sintaksna greška): {\displaystyle x(t) = \cos{(3t)}<math>, korištenjem [[Lista trigonometrijskih identiteta|identiteti za pretvaranje proizvoda u zbir i sume u proizvod|trigonometrijski identitet za pretvaranje proizvoda u zbir]] se lako može pokazati da je izlaz <math>y(t) = 1,5 \cos{(3t)} + 0,5 \cos{(2t)} + 0,5 \cos{(4t)}} , to jest, izlaz se ne sastoji samo od sinusoida iste frekvencije kao ulaz (3 rad/s), već i od sinusoida frekvencija 2 rad/s i 4 rad/s; nadalje, uzimajući najmanji zajednički višekratnik osnovnog perioda sinusoida izlaza, može se pokazati da je osnovna ugaona frekvencija izlaza 1 rad/s, što je drugačije od frekvencije ulaza.

Vremenski promjenjivi impulsni odziv

Vremenski promjenjivi impulsni odziv $h (t 2, t 1)$ linearnog sistema se definiše kao odziv sistema u trenutku t = t₂ na jedan impuls primijenjen u trenutku $t = t 1$ . Drugim riječima, ako je ulaz $x (t)$ u linearni sistem $x(t)=\delta (t-t_{1})$ gdje $δ(t)$ predstavlja Diracovu delta funkciju, a odgovarajući odziv $y (t)$ sistema je $y(t=t_{2})=h(t_{2},t_{1})$ tada je funkcija $h (t 2, t 1)$ je vremenski promjenjivi impulsni odziv sistema. Budući da sistem ne može odgovoriti prije nego što se primijeni ulaz, mora biti zadovoljen sljedeći uslov uzročnosti: $h(t_{2},t_{1})=0,t_{2}<t_{1}$

Konvolucioni integral

Izlaz bilo kojeg opšteg linearnog sistema u kontinuiranom vremenu povezan je sa ulazom integralom koji se može zapisati u dvostruko beskonačnom opsegu zbog uslova uzročnosti: $y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t,t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,t')x(t')dt'$

Ako svojstva sistema ne zavise od vremena u kojem se on pokreće, onda se kaže da je vremenski nepromjenjiv i $h$ je funkcija samo vremenske razlike. $τ = t - t'$ što je nula za $τ < 0$ (naime $t < t'$ ). Redefinicijom $h$ tada je moguće ekvivalentno napisati relaciju ulaz-izlaz na bilo koji od sljedećih načina,

y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau =\int _{0}^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau

Linearni vremenski nepromjenjivi sistemi najčešće se karakteriziraju Laplaceovom transformacijom funkcije impulsnog odziva koja se naziva "prenosna funkcija", a koja je:

H(s)=\int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,dt.

U primjenama ovo je obično racionalna algebarska funkcija od $s$ . Budući da je $h (t)$ nula za negativni $t$ , integral se može jednako zapisati u dvostruko beskonačnom opsegu, a stavljanje $s = iω$ slijedi formulu za funkciju frekvencijskog odziva:

H(i\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-i\omega t}dt

Diskretni sistemi

Izlaz bilo kojeg diskretnog linearnog sistema povezan je s ulazom vremenski promjenjivom konvolucijskom sumom:

y[n]=\sum _{m=-\infty }^{n}{h[n,m]x[m]}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{h[n,m]x[m]}

ili ekvivalentno za vremenski nepromjenjivi sistem pri redefiniranju $h$ ,

y[n]=\sum _{k=0}^{\infty }{h[k]x[n-k]}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}

gdje $k=n-m$ predstavlja vrijeme kašnjenja između stimulusa u trenutku m i odgovora u trenutku n.

Također pogledajte

Reference

↑ Phillips, Charles L.; Parr, John M.; Riskin, Eve A. (2008). Signals, Systems, and Transforms (4 izd.). Pearson. str. 74. ISBN 978-0-13-198923-8.
1 2 Bessai, Horst J. (2005). MIMO Signals and Systems. Springer. str. 27–28. ISBN 0-387-23488-8.
↑ Alkin, Oktay (2014). Signals and Systems: A MATLAB Integrated Approach. CRC Press. str. 99. ISBN 978-1-4665-9854-6.
1 2 3 Nahvi, Mahmood (2014). Signals and Systems. McGraw-Hill. str. 162–164, 166, 183. ISBN 978-0-07-338070-4.
↑ Sundararajan, D. (2008). A Practical Approach to Signals and Systems. Wiley. str. 80. ISBN 978-0-470-82353-8.
1 2 3 Roberts, Michael J. (2018). Signals and Systems: Analysis Using Transform Methods and MATLAB® (3 izd.). McGraw-Hill. str. 131, 133–134. ISBN 978-0-07-802812-0.
↑ Deergha Rao, K. (2018). Signals and Systems. Springer. str. 43–44. ISBN 978-3-319-68674-5.
↑ Chen, Chi-Tsong (2004). Signals and systems (3 izd.). Oxford University Press. str. 55–57. ISBN 0-19-515661-7.
↑ ElAli, Taan S.; Karim, Mohammad A. (2008). Continuous Signals and Systems with MATLAB (2 izd.). CRC Press. str. 53. ISBN 978-1-4200-5475-0.
↑ Apte, Shaila Dinkar (2016). Signals and Systems: Principles and Applications. Cambridge University Press. str. 187. ISBN 978-1-107-14624-2.

[Phillips_2008-1] Phillips, Charles L.; Parr, John M.; Riskin, Eve A. (2008). Signals, Systems, and Transforms (4 izd.). Pearson. str. 74. ISBN 978-0-13-198923-8.

[Bessai_2005-2] 1 2 Bessai, Horst J. (2005). MIMO Signals and Systems. Springer. str. 27–28. ISBN 0-387-23488-8.

[Alkin_2014-3] Alkin, Oktay (2014). Signals and Systems: A MATLAB Integrated Approach. CRC Press. str. 99. ISBN 978-1-4665-9854-6.

[Nahvi_2014-4] 1 2 3 Nahvi, Mahmood (2014). Signals and Systems. McGraw-Hill. str. 162–164, 166, 183. ISBN 978-0-07-338070-4.

[Sundararajan_2008-5] Sundararajan, D. (2008). A Practical Approach to Signals and Systems. Wiley. str. 80. ISBN 978-0-470-82353-8.

[Roberts_2018-6] 1 2 3 Roberts, Michael J. (2018). Signals and Systems: Analysis Using Transform Methods and MATLAB® (3 izd.). McGraw-Hill. str. 131, 133–134. ISBN 978-0-07-802812-0.

[DeerghaRao_2018-7] Deergha Rao, K. (2018). Signals and Systems. Springer. str. 43–44. ISBN 978-3-319-68674-5.

[Chen_2004-8] Chen, Chi-Tsong (2004). Signals and systems (3 izd.). Oxford University Press. str. 55–57. ISBN 0-19-515661-7.

[ElAliKarim_2008-9] ElAli, Taan S.; Karim, Mohammad A. (2008). Continuous Signals and Systems with MATLAB (2 izd.). CRC Press. str. 53. ISBN 978-1-4200-5475-0.

[Apte_2016-10] Apte, Shaila Dinkar (2016). Signals and Systems: Principles and Applications. Cambridge University Press. str. 187. ISBN 978-1-107-14624-2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]