Liouvilleova funkcija

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web stranice ili drugi izvori).
Sporne rečenice i navodi bi mogli, ukoliko se pravilno ne označe validnim izvorima, biti obrisani i uklonjeni. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci, te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Liouvilleova funkcija, označane sa λ(n) i koja je dobila naziv po Josephu Liouvilleu, je važna funkcija u teoriji brojeva.

Ako je n pozitivan cijeli broj, tada je λ(n) definisana kao:

\lambda(n) = (-1)^{\Omega(n)},\,\!

gdje je Ω(n) broj prostih faktora od n, brojenih sa multiplikativnosti. (SIDN A008836).

λ je potpuno multiplikativna pošto je Ω(n) sabirljiva. Imamo Ω(1) = 0 i odatle λ(1) = 1. Liouvilleova funkcija zadovoljava identitet:

\sum_{d|n}\lambda(d)=1\,\! ako je n savršen kvadrat, i:
\sum_{d|n}\lambda(d)=0\,\! u ostalim slučajevima.

Red[uredi | uredi izvor]

Dirichletov red za Liouvilleovu funkciju daje Riemannovu zeta funkciju kao

\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}.

Lambertov red za Liouvilleovufunkciju je

\sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)q^n}{1-q^n} = 
\sum_{n=1}^\infty q^{n^2} = 
\frac{1}{2}\left(\vartheta_3(q)-1\right),

gdje je \vartheta_3(q) teta funkcija.

Reference[uredi | uredi izvor]

  1. Polya, G., Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie. Jahresbericht der deutschen Math.-Vereinigung 28 (1919), 31-40.
  2. Haselgrove, C.B. A disproof of a conjecture of Polya. Mathematika 5 (1958), 141-145.
  3. Lehman, R., On Liouville's function. Math. Comp. 14 (1960), 311-320.
  4. M. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function. Tokyo Journal of Mathematics 3, 187-189, (1980).