Nelinearni sistem

Šablon:Složeni sistemi U matematici i nauci, nelinearni sistem je sistem u kojem promjena izlaza nije proporcionalna promjeni ulaza. Nelinearni problemi su od interesa za inženjere, biologe, fizičare, matematičare i mnoge druge naučnike, budući da je većina sistema inherentno nelinearna po prirodi. Nelinearni dinamički sistemi, koji opisuju promjene varijabli tokom vremena, mogu izgledati haotično, nepredvidivo ili kontraintuitivno, za razliku od mnogo jednostavnijih linearnih sistema.

Tipično, ponašanje nelinearnog sistema se u matematici opisuje nelinearnim sistemom jednačina, koji je skup simultanih jednačina u kojima se nepoznate (ili nepoznate funkcije u slučaju diferencijalnih jednačina) pojavljuju kao varijable polinoma stepena većeg od jedan ili u argumentu funkcije koja nije polinom stepena jedan. Drugim riječima, u nelinearnom sistemu jednačina, jednačina(e) koje treba riješiti ne mogu se napisati kao linearna kombinacija nepoznate varijabli ili funkcije koje se pojavljuju u njima. Sistemi se mogu definirati kao nelinearni, bez obzira na to da li se poznate linearne funkcije pojavljuju u jednačinama. Posebno, diferencijalna jednačina je „linearna“ ako je linearna u smislu nepoznate funkcije i njenih derivata, čak i ako je nelinearna u smislu ostalih varijabli koje se u njoj pojavljuju.

Budući da je nelinearne dinamičke jednačine teško riješiti, nelinearni sistemi se obično aproksimiraju linearnim jednačinama (linearizacija). Ovo dobro funkcioniše do određene tačnosti i određenog raspona za ulazne vrijednosti, ali neke zanimljive pojave kao što su solitoni, teorija haosa, i singularnosti su skrivene linearizacijom. Iz toga slijedi da neki aspekti dinamičkog ponašanja nelinearnog sistema mogu izgledati kontraintuitivno, nepredvidivo ili čak haotično. Iako takvo haotično ponašanje može ličiti na nasumično ponašanje, ono zapravo nije slučajno. Naprimjer, neki aspekti vremena se smatraju haotičnim, gdje jednostavne promjene u jednom dijelu sistema proizvode složene efekte u cijelom sistemu. Ova nelinearnost je jedan od razloga zašto su tačne dugoročne prognoze nemoguće sa trenutnom tehnologijom.

Neki autori koriste termin nelinearna nauka za proučavanje nelinearnih sistema. Ovaj termin drugi osporavaju:

Korištenje termina kao što je nelinearna nauka je kao da se glavnina zoologije naziva proučavanjem životinja koje nisu slonovi.

– Stanisław Ulam

Definicija

U matematici, linearna mapa (ili linearna funkcija) $f(x)$ je ona koja zadovoljava oba sljedeća svojstva:

• Aditivnost ili princip superpozicije:$\textstyle f(x+y)=f(x)+f(y);$
• Homogenost: $\textstyle f(\alpha x)=\alpha f(x).$

Aditivnost implicira homogenost za bilo koji racionalni α, i, za kontinuirane funkcije, za bilo koji realni α. Za kompleksni α, homogenost ne slijedi iz aditivnosti. Naprimjer, antilinearna mapa je aditivna, ali nije homogena. Uslovi aditivnosti i homogenosti se često kombinuju u principu superpozicije

$f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)$

Jednačina napisana kao

$f(x)=C$

se naziva linearna ako je $f(x)$ linearno preslikavanje (kao što je gore definirano) i nelinearno u suprotnom. Jednačina se naziva homogena ako je $C=0$ i $f(x)$ je homogena funkcija.

Definicija $f(x)=C$ je vrlo općenita po tome što $x$ može biti bilo koji razuman matematički objekt (broj, vektor, funkcija, itd.), a funkcija $f(x)$ može doslovno biti bilo koje mapiranje, uključujući integraciju ili diferencijaciju s pridruženim ograničenjima (kao što su granične vrijednosti). Ako $f(x)$ sadrži diferencijaciju u odnosu na $x$, rezultat će biti diferencijalna jednačina.

Nelinearni sistemi jednačina

Nelinearni sistem jednačina sastoji se od skupa jednačina u nekoliko varijabli tako da barem jedna od njih nije linearna jednačina.

Za jednu jednačinu oblika $f(x)=0,$ dizajnirane su mnoge metode; pogledajte Algoritam za pronalaženje korijena. U slučaju kada je f polinom, imamo polinomsku jednačinu kao što je $x^{2}+x-1=0.$ Opći algoritmi za pronalaženje korijena primjenjuju se na korijene polinoma, ali, uglavnom, ne pronalaze sve korijene, a kada ne uspiju pronaći korijen, to ne znači da nema korijena. Specifični metodi za polinome omogućavaju pronalaženje svih korijena ili realnog korijena; pogledajte izolacija realnog korijena.

Rješavanje sistema polinomskih jednačina, odnosno pronalaženje zajedničkih nultog skupa nekoliko polinoma u nekoliko varijabli, težak je problem za koji su dizajnirani složeni algoritmi, kao što su algoritmi Gröbnerove baze.

Za opći slučaj sistema jednačina formiranih izjednačavanjem nekoliko diferencijabilnih funkcija s nulom, glavna metoda je Newtonova metoda i njene varijante. Općenito, one mogu pružiti rješenje, ali ne daju nikakve informacije o broju rješenja.

Nelinearne rekurentne relacije

Nelinearna rekurentna relacija definira uzastopne članove niza kao nelinearnu funkciju prethodnih članova. Primjeri nelinearnih rekurentnih relacija su logistička mapa i relacije koje definiraju različite Hofstadterove sekvence. Nelinearni diskretni modeli koji predstavljaju široku klasu nelinearnih rekurentnih relacija uključuju NARMAX (Nelinearni autoregresivni pokretni prosjek s eXogenim ulazima) model i povezane nelinearne identifikacije sistema i postupke analize. Ovi pristupi se mogu koristiti za proučavanje široke klase složenih nelinearnih ponašanja u vremenskom, frekvencijskom i prostorno-vremenskom domenu.

Nelinearne diferencijalne jednačine

Glavni članci: Nelinearna dinamika, časopis i Nelinearna dinamika (časopis)

Sistem jednačina, kao što je diferencijalns jednačina naziva se nelinearnim ako nije sistem linearnih jednačina. Problemi koji uključuju nelinearne diferencijalne jednačine su izuzetno raznoliki, a metode rješavanja ili analize zavise od problema. Primjeri nelinearnih diferencijalnih jednačina su Navier-Stokesove jednačine u dinamici fluida i Lotka-Volterra jednačine u biologiji.

Jedna od najvećih poteškoća nelinearnih problema je ta što generalno nije moguće kombinovati poznata rješenja u nova rješenja. U linearnim problemima, na primjer, porodica linearno nezavisnih rješenja može se koristiti za konstruisanje općih rješenja putem principa superpozicije. Dobar primjer za ovo je jednodimenzionalni transport toplote sa Dirichletovim graničnim uslovima, čije se rješenje može napisati kao vremenski zavisna linearna kombinacija sinusoida različitih frekvencija; ovo čini rješenja vrlo fleksibilnim. Često je moguće pronaći nekoliko vrlo specifičnih rješenja nelinearnih jednačina, međutim, nedostatak principa superpozicije sprečava konstrukciju novih rješenja.

Obične diferencijalne jednačine

Obične diferencijalne jednačine prvog reda često su tačno rješive razdvajanjem varijabli, posebno za autonomne jednačine. Naprimjer, nelinearna jednačina

${\frac {du}{dx}}=-u^{2}$

has $u={\frac {1}{x+C}}$ kao opće rješenje (a također i specijalno rješenje $u=0,$ koje odgovara granici općeg rješenja kada C teži beskonačnosti). Jednačina je nelinearna jer se može napisati kao

${\frac {du}{dx}}+u^{2}=0$

i lijeva strana jednačine nije linearna funkcija od $u$ i njegovih derivata. Imati na umu da ako je $u^{2}$ gedje je termin zamijenjen sa $u$, problem bi bio linearan (problem [[Problem bi bio linearan (problem eksponencijalnog raspada).

Obične diferencijalne jednačine drugog i višeg reda (općenitije, sistemi nelinearnih jednačina rijetko daju zatvoreni oblik rješenja, iako se susreću implicitna rješenja i rješenja koja uključuju neelementarne integrale.

Obične diferencijalne jednačine drugog i višeg reda (općenitije, sistemi nelinearnih jednačina) rijetko daju zatvoreni oblik rješenja, iako se susreću implicitna rješenja i rješenja koja uključuju neelementarne integrale.]]).

Obične diferencijalne jednačine drugog i višeg reda (općenitije, sistemi nelinearnih jednačina) rijetko daju zatvoreni oblik rješenja, iako se susreću implicitna rješenja i rješenja koja uključuju neelementarne integrale.Obične diferencijalne jednačine drugog i višeg reda (općenitije, sistemi nelinearnih jednačina) rijetko daju rješenja u zatvorenom obliku, iako se susreću implicitna rješenja i rješenja koja uključuju neelementarne integrale.

Uobičajene metode za kvalitativnu analizu nelinearnih običnih diferencijalnih jednačina uključuju:

• Ispitivanje bilo kojih očuvanih veličina, posebno u Hamiltonovim sistemima
• Ispitivanje disipativnih veličina (vidi Ljapunovljeva funkcija) analogno očuvanim veličinama
• Linearizacija putem Taylorovog širenja
• Promjena varijabli u nešto lakše za proučavanje

Ako bi se član zamijenio sa $u$, problem bi bio linearan (problem eksponencijalnog raspada). Obične diferencijalne jednačine drugog i višeg reda (općenitije, sistemi nelinearnih jednačina) rijetko daju rješenja u zatvorenom obliku, iako se susreću implicitna rješenja i rješenja koja uključuju neelementarne integrale.

Uobičajene metode za kvalitativnu analizu nelinearnih običnih diferencijalnih jednačina uključuju:

• Ispitivanje bilo kojih očuvanih veličina, posebno u Hamiltonovim sistemima
• Ispitivanje disipativnih veličina (vidi Ljapunovljeva funkcija) analogno očuvanim veličinama
• Linearizacija putem Taylorovog razvoja
• Promjena varijabli u nešto lakše za proučavanje
• Teorija bifurkacije
• Metode Perturbacija (mogu se primijeniti i na algebarske jednačine)
• Postojanje rješenja konačnog trajanja, što se može dogoditi pod specifičnim uslovima za neke nelinearne obične diferencijalne jednačine.

Parcijalne diferencijalne jednačine

Glavni članak: Nelinearna parcijalna diferencijalna jednačina

Glavni članak: Lista nelinearnih parcijalnih diferencijalnih jednačina

Najčešći osnovni pristup proučavanju nelinearnih parcijalnih diferencijalnih jednačina je promjena varijabli (ili na drugi način transformacija problema) tako da rezultirajući problem bude jednostavniji (moguće linearan). Ponekad se jednačina može transformirati u jednu ili više običnih diferencijalnih jednačina, kao što se vidi u razdvajanju varijabli, što je uvijek korisno bez obzira na to da li je rezultirajuća obična diferencijalna jednačina rješiva ili ne.

Još jedna uobičajena (iako manje matematička) taktika, često korištena u mehanici fluida i toplote, je korištenje analize skale za pojednostavljenje opće, prirodne jednačine u određenom specifičnom graničnom problemu. Naprimjer, (vrlo) nelinearne Navier-Stokesove jednačine mogu se pojednostaviti u jednu linearnu parcijalnu diferencijalnu jednačinu u slučaju prolaznog, laminarnog, jednodimenzionalnog toka u kružnoj cijevi; analiza razmjera pruža uslove pod kojima je tok laminaran i jednodimenzionalan, a također daje pojednostavljenu jednačinu.

Druge metode uključuju ispitivanje karakteristika i korištenje metoda opisanih gore za obične diferencijalne jednačine.

Klatno

Glavni članak: Klatno (matematika)

Ilustracija klatna

Linearizacije klatna

Klasičan, opsežno proučavan nelinearni problem je dinamika klatna bez trenja pod utjecajem gravitacije. Korištenjem Lagrangijanske mehanike, može se pokazati da se kretanje klatna može opisati bezdimenzionalnom nelinearnom jednačinom

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin(\theta )=0$

gdje gravitacija pokazuje "prema dolje" i θ je ugao koji klatno formira sa svojim mirujućim položajem, kao što je prikazano na slici desno. Jedan pristup "rješavanju" ove jednačine je korištenje θd/dt kao integrirajući faktor, što bi na kraju dalo

$\int {\frac {d\theta }{\sqrt {C_{0}+2\cos(\theta )}}}=t+C_{1}$

što je implicitno rješenje koje uključuje eliptičmi integral. Ovo "rješenje" uglavnom nema mnogo upotreba jer je većina prirode rješenja skrivena u neelementarnom integralu (neelementarnom osim ako nije $C_{0}=2$).

Drugi način pristupa problemu je linearizacija bilo koje nelinearnosti (član sinusne funkcije u ovom slučaju) u različitim tačkama od interesa putem Taylorove ekspanzije. Naprimjer, linearizacija pri $\theta =0$, nazvana aproksimacija malog ugla, je

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\theta =0$

dok $\sin(\theta )\approx \theta$ za $\theta \approx 0$. Ovo je jednostavni harmonijski oscilator koji odgovara oscilacijama klatna blizu dna njegove putanje. Druga linearizacija bi bila pri $\theta =\pi$, što odgovara klatnu koje je usmjereno ravno prema gore

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\pi -\theta =0$

od b$\sin(\theta )\approx \pi -\theta$ za $\theta \approx \pi$. Rješenje ovog problema uključuje hiperboličke sinusoide, i treba napomenuti da je, za razliku od aproksimacije malih uglova, ova aproksimacija nestabilna, što znači da će $|theta|$ obično rasti neograničeno, iako su moguća i ograničena rješenja. To odgovara teškoći balansiranja klatna uspravno, to je doslovno nestabilno stanje.

Još jedna zanimljiva linearizacija je moguća oko $\theta =\pi /2$, oko kojeg $\sin(\theta )\approx 1$:

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+1=0.$

Ovo odgovara problemu slobodnog pada. Vrlo korisna kvalitativna slika dinamike klatna može se dobiti spajanjem takvih linearizacija, kao što se vidi na slici desno. Mogu se koristiti i druge tehnike za pronalaženje (tačnih) faznih portreta i približnih perioda.

Vrste nelinearnih dinamičkih ponašanja

• Amplitudna smrt – sve oscilacije prisutne u sistemu prestaju zbog neke vrste interakcije s drugim sistemom ili povratne informacije istog sistema
• Haos – vrijednosti sistema se ne mogu predvidjeti u nedogled daleko u budućnost, a fluktuacije su aperiodične
• Multistabilnost – prisustvo dva ili više stabilnih stanja
• Solitoni – samopojačavajući usamljeni talasi
• Granični ciklusi – asimptotske periodične orbite kojima se privlače destabilizovane fiksne tačke.
• Samooscilacije – povratne oscilacije koje se odvijaju u otvorenim disipativnim fizičkim sistemima.

Primjeri nelinearnih jednačina

• Algebarska Riccatijeva jednačina
• Sistem kugla i greda
• Bellmanova jednačina za optimalnu politiku
• Boltzmannova jednačina
• Colebrookova jednačina
• Opća relativnost
• Ginzburg-Landauova teorija
• Ishimorijeva jednačina
• Kadomtsev-Petviashvilijeva jednačina
• Korteweg-de Vriesova jednačina
• Landau-Lifshitz-Gilbertova jednačina
• Liénardova jednačina
• Navier-Stokesove jednačine iz dinamike fluida
• Nelinearna optika
• Nelinearna Schrödingerova jednačina
• Studija toka snage
• Richardsova jednačina za tok nezasićene vode
• Samobalansiranje monocikl
• Sine-Gordonova jednačina
• Van der Pol oscilator
• Vlasovljeva jednačina

Također pogledajte

• Aleksandr Mihajlovič Ljapunov
• Dinamički sistem
• Povratna sprega
• Početni uslov
• Linearni sistem
• Modno sprezanje
• Vektorski soliton
• Volterra serija

Dopunska literatura

• Diederich Hinrichsen and Anthony J. Pritchard (2005). Mathematical Systems Theory I - Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness. Springer Verlag. ISBN 9783540441250.
• Jordan, D. W.; Smith, P. (2007). Nonlinear Ordinary Differential Equations (fourth izd.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920824-1.
• Khalil, Hassan K. (2001). Nonlinear Systems. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-067389-3.
• Kreyszig, Erwin (1998). Advanced Engineering Mathematics. Wiley. ISBN 978-0-471-15496-9.
• Sontag, Eduardo (1998). Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. Second Edition. Springer. ISBN 978-0-387-98489-6.
• Sastry, Shankar (2009). Nonlinear systems: analysis, stability, and control. Interdisciplinary Applied Mathematics (jezik: engleski). 10 (Nachdr. izd.). New York Berlin Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3108-8. ISBN 978-0-387-98513-8.
• Orlando, Giuseppe (2021). Nonlinearities in economics: an interdisciplinary approach to economic dynamics, growth and cycles. Dynamic Modeling and Econometrics in Economics and Finance (jezik: engleski). 29. Cham: Springer International Publishing AG. doi:10.1007/978-3-030-70982-2. ISBN 978-3-030-70981-5.

Vanjski linkovi

• Command and Control Research Program (CCRP)
• New England Complex Systems Institute: Concepts in Complex Systems
• Nonlinear Dynamics I: Chaos at MIT's OpenCourseWare
• Nonlinear Model Library – (in MATLAB) a Database of Physical Systems
• The Center for Nonlinear Studies at Los Alamos National Laboratory