Idi na sadržaj

Odnos površine i zapremine

Nepregledano
S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Grafikoni površine, A u odnosu na zapreminu, V Platonovih čvrstih tijela i sfere, pokazuju da se površina smanjuje za zaobljenije oblike, a odnos površine i zapremine se smanjuje s povećanjem zapremine. Njihovi presjeci s isprekidanim linijama pokazuju da kada se zapremina poveća 8 (2³) puta, površina se povećava 4 (2²) puta.

Odnos površine i zapremine ili odnos površine i volumena (označen kao SA:V, SA/V ili sa/vol) je odnos između [[površina|površine i zapremine objekta ili skupa objekata.

SA:V je važan koncept u nauci i inženjerstvu. Koristi se za objašnjenje odnosa između strukture i funkcije u procesima koji se odvijaju kroz površinu i zapreminu. Dobri primjeri za takve procese su procesi kojima upravlja jednačina toplote,[1] to jest, difuzija i prijenos toplote putem toplotne provodljivosti.[2] SA:V se koristi za objašnjenje difuzije malih molekula, poput kisika i ugljik-dioksida, između zraka, krvi i ćelija,[3] water loss by animals,[4] bacterial morphogenesis,[5] organizamskih termoregulacija,[6] design of artificial bone tissue,[7] vještačkih pluća [8] i mnogih drugih bioloških i biotehnoloških struktura. Za više primjera pogledajte Glazier.[9]

Odnos između SA:V i difuzije ili brzine provođenja toplote objašnjava se iz perspektive fluksa i površine, fokusirajući se na površinu tijela kao mjesto gdje se odvija difuzija ili provođenje toplote, tj. što je veći SA:V, to je veća površina po jedinici zapremine kroz koju materijal može difundirati, stoga će difuzija ili provođenje toplote biti brže. Slično objašnjenje se pojavljuje u literaturi: "Mala veličina podrazumijeva veliki odnos površine i zapremine, čime se pomaže maksimiziranju unosa hranjivih tvari kroz plazmamembranu.",[10] and elsewhere.[9][11][12]

Za dati volumen, objekt s najmanjom površinom (i stoga s najmanjim SA:V) je kugla, što je posljedica izoperimetrijske nejednakosti u tri dimenzije. Nasuprot tome, objekti sa šiljcima pod oštrim uglom imat će vrlo veliku površinu za dati volumen.

Za čvrste sfere

[uredi | uredi izvor]
Grafikon odnosa površine i zapremine (SA:V) za trodimenzilsku kuglu, koji pokazuje da se odnos obrnuto smanjuje s povećanjem radijusa kugle

čvrsta sfera ili kugla je trodimenzionalni objekat, koji predstavlja čvrstu figuru ograničenu sferom. (U geometriji, termin sfera se ispravno odnosi samo na površinu, tako da sfera u ovom kontekstu nema zapreminu.)

Za običnu trodimenzijsku kuglu, SA:V se može izračunati korištenjem standardnih jednačina za površinu i zapreminu, koje su;

Parsiranje nije uspjelo (sintaksna greška): {\displaystyle SA=4\pi{r^2} , odnosno <math>V=(4/3)\pi{r^3}. <br>Za jedinični slučaj u kojem je ''r'' = 1, SA:V je stoga 3. Za opći slučaj, SA:V je jednako 3/''r'', u inverznom odnosu s [[radijus]]om – ako se radijus udvostruči, SA:V se prepolovi (vidi sliku). === Za ''n''-dimenzijske kugle === Kugle postoje u bilo kojoj dimenziji i generički se nazivaju ''[[n-kugla|''n''-kugle]]'' ili ''hiperkugle'', gdje je ''n'' broj dimenzija. Isto rezonovanje se može generalizirati na n-kuglice koristeći opće jednačine za volumen i površinu, koje su: :<math>V=\frac{r^n\pi^{n/2}}{\Gamma(1+n/2)}<math> :<math>SA=\frac{nr^{n-1}\pi^{n/2}}{\Gamma(1+{n/2})}<math> Dakle, omjer je jednak <math>SA/V=nr^{-1}<math>. Dakle, ista linearna veza između površine i volumena vrijedi za bilo koji broj dimenzija (vidi sliku): udvostručenje radijusa uvijek prepolovljuje omjer. == Dimenzija i jedinice == Odnos površine i zapremine ima [[fizička dimenzija| fizičku dimenziju]] [[inverzna dužina| inverzne dužine]] (L<sup>−1</sup>) i stoga se izražava u [[jedinica mjere|jedinicama]] inverznog metra (m<sup>−1</sup>) ili njegovim [[prefiks jedinice|prefiksom]] [[umnožea jedinica| umnoženim]] i podumnoženim jedinicama. Naprimjer, [[kocka]] sa stranicama dužine 1[[centimetar|cm]] imat će površinu od 6&nbsp;cm<sup>2</sup> i zapreminu od 1&nbsp;cm<sup>3</sup>. Odnos površine i zapremine za ovu kocku je stoga :<math>\mbox{SA:V} = \frac{6~\mbox{cm}^2}{1~\mbox{cm}^3} = 6~\mbox{cm}^{-1} .

Za dati oblik, SA:V je obrnuto proporcionalan veličini. Kocka stranice 2 cm ima omjer od 3 cm−1, što je polovina omjera kocke stranice 1 cm. Obrnuto, očuvanje SA:V kako se veličina povećava zahtijeva promjenu na manje kompaktan oblik.

Primjene

[uredi | uredi izvor]

Fizička hemija

[uredi | uredi izvor]

Materijali s visokim omjerom površine i zapremine (npr. vrlo mali promjer, vrlo porozan ili inače ne kompaktan) reagiraju mnogo brže od monolitnih materijala, jer je dostupna veća površina za reakciju. Primjer je zrnasta prašina: dok zrno obično nije zapaljivo, zrnasta prašina je eksplozivna. Fino mljevena so rastvara se mnogo brže od grube soli.

Visok odnos površine i volumena pruža snažnu "pokretačku snagu" za ubrzavanje termodinamičkih procesa koji minimiziraju slobodnu energiju.[13]

Biologija

[uredi | uredi izvor]
Ćelije koje oblažu tanko crijevo povećavaju površinu preko koje mogu apsorbirati hranjive tvari pomoću tepiha od čuperkastih mikroresica.

Odnos između površine i volumena ćelija i organizama ima ogroman uticaj na njihovu biologiju, uključujući i fiziologiju i ponašanje. Naprimjer, mnogi vodeni mikroorganizmi imaju povećanu površinu kako bi povećali otpor vode. To smanjuje njihovu brzinu tonjenja i omogućava im da ostanu blizu površine s manjim utroškom energije.

Povećan odnos površine i volumena također znači povećanu izloženost okolišu. Fino razgranati dodaci filterskih hranilica poput krila pružaju veliku površinu za prosijavanje vode radi hrane.[14]

Pojedinačni organi poput pluća imaju brojne unutrašnje grane koje povećavaju površinu; u slučaju pluća, velika površina podržava izmjenu plinova, dovodeći kisik u krv i oslobađajući ugljik-dioksid iz krvi.[15][16] Slično tome, tanko crijevo ima fino naboranu unutrašnju površinu, što omogućava tijelu da efikasno apsorbuje hranjive tvari.[17]

Ćelije mogu postići visok odnos površine i volumena sa složeno zavijenom površinom, poput mikroresica koje oblažu tanko crijevo.[18]

Povećana površina također može dovesti do bioloških problema. Veći kontakt s okolinom kroz površinu ćelije ili organa (u odnosu na njegov volumen) povećava gubitak vode i rastvorenih supstanci. Visoki omjeri površine i volumena također predstavljaju probleme kontrole temperature u nepovoljnim okruženjima. Omjeri površine i volumena organizama različitih veličina također dovode do nekih bioloških pravila kao što su Allenovo, Bergmanovo pravilo[19][20][21] i gigantotermija.[22]

Širenje vatre

[uredi | uredi izvor]

U kontekstu šumskih požara, odnos površine čvrstog goriva i njegovog volumena je važno mjerenje. Ponašanje širenja vatre često je u korelaciji s odnosom površine i volumena goriva (npr. lišća i grana). Što je veća njegova vrijednost, to čestica brže reaguje na promjene u uslovima okoline, kao što su temperatura ili vlaga. Više vrijednosti su također u korelaciji s kraćim vremenom paljenja goriva, a samim tim i bržim brzinama širenja vatre.

Hlađenje planeta

[uredi | uredi izvor]

Tijelo od ledenog ili kamenitog materijala u svemiru može, ako može izgraditi i zadržati dovoljno toplote, razviti diferenciranu unutrašnjost i promijeniti svoju površinu kroz vulkansku ili tektonsku aktivnost. Dužina vremena tokom kojeg planetarno tijelo može održavati aktivnost mijenjanja površine zavisi od toga koliko dobro zadržava toplotu, a to je određeno odnosom površine i volumena. Za Vesta (r=263 km), odnos je toliko visok da su astronomi bili iznenađeni kada su otkrili da se „zaista“ diferencirala i imala kratku vulkansku aktivnost. Mjesec, Merkur i Mars imaju radijuse od nekoliko hiljada kilometara; sva tri su dovoljno dobro zadržala toplotu da se mogu temeljito razlikovati, iako su nakon otprilike milijardu godina postali previše hladni da bi pokazali išta više od vrlo lokalizirane i rijetke vulkanske aktivnosti. Međutim, od aprila 2019. godine, NASA je objavila detekciju "Marsotresa" izmjerenog 6. aprila 2019. godine, od strane NASA-inog InSight sletnog uređaja.[23] Venera i Zemlja (r>6.000 km) imaju dovoljno nizak odnos površine i zapremine (otprilike polovina onog na Marsu i mnogo niži od svih drugih poznatih stjenovitih tijela) tako da je njihov gubitak toplote minimalan.[24]

Mathematical examples

[uredi | uredi izvor]

Oblik Slika Karakteristična dužina Odnos SA/V Odnos SA/V za jedinicu zapremine
Tetraedar Ivica 7,21
Kub Ivica 6
Oktaedar edge 5.72
Dodecahedron Ivica 5,31
Kapsula Radijus (R) 5,251
Ikosaedar Ivica 5,148
Sfera Radijus 4,83598
Primjeri kocki različitih veličina
Stranica
Kocke		Strana2Jednostrana
površina		6 × stranica2Površina
cijele kocke
(6 strana)		Strana3ZapreminaOdnos površine
i zapremine
22×246×2×2242×2×283:1
44×4166×4×4964×4×4643:2
66×6366×6×62166×6×62163:3
88×8646×8×83848×8×85123:4
1212×121446×12×1286412×12×121,7283:6
2020×204006×20×202,40020×20×208,0003:10
5050×502,5006×50×5015,00050×50×50125,0003:25
1,0001,000×1,0001,000,0006×1,000×1,0006,000,0001,000×1,000×1,0001,000,000,0003:500

Također pogledajte

[uredi | uredi izvor]

Reference

[uredi | uredi izvor]
  • Schmidt-Nielsen, Knut (1984). Scaling: Why is Animal Size so Important?. New York, NY: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-26657-4. OCLC 10697247.
  • Vogel, Steven (1988). Life's Devices: The Physical World of Animals and Plants. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08504-3. OCLC 18070616.
Specifične
  1. ↑ Planinšič, Gorazd; Vollmer, Michael (20. 2. 2008). "The surface-to-volume ratio in thermal physics: from cheese cube physics to animal metabolism". European Journal of Physics. 29 (2): 369–384. Bibcode:2008EJPh...29..369P. doi:10.1088/0143-0807/29/2/017. S2CID 55488270. Pristupljeno 9. 7. 2021.
  2. ↑ Planinšič, Gorazd (2008). "The surface-to-volume ratio in thermal physics: from cheese cube physics to animal metabolism". European Journal of Physics. 29 (2): 369–384. Bibcode:2008EJPh...29..369P. doi:10.1088/0143-0807/29/2/017. S2CID 55488270.
  3. ↑ Williams, Peter; Warwick, Roger; Dyson, Mary; Bannister, Lawrence H. (2005). Gray's Anatomy (39 izd.). Churchill Livingstone. str. 1278–1282.
  4. ↑ Jeremy M., Howard; Hannah-Beth, Griffis; Westendorf, Rachel; Williams, Jason B. (2019). "The influence of size and abiotic factors on cutaneous water loss". Advances in Physiology Education. 44 (3): 387–393. doi:10.1152/advan.00152.2019. PMID 32628526.
  5. ↑ Harris, Leigh K.; Theriot, Julie A. (2018). "Surface Area to Volume Ratio: A Natural Variable for Bacterial Morphogenesis". Trends in Microbiology. 26 (10): 815–832. doi:10.1016/j.tim.2018.04.008. PMC 6150810. PMID 29843923.
  6. ↑ Louw, Gideon N. (1993). Physiological Animal Ecology. Longman Pub Group.
  7. ↑ Nguyen, Thanh Danh; Olufemi E., Kadri; Vassilios I., Sikavitsas; Voronov, Roman S. (2019). "Scaffolds with a High Surface Area-to-Volume Ratio and Cultured Under Fast Flow Perfusion Result in Optimal O2 Delivery to the Cells in Artificial Bone Tissues". Applied Sciences. 9 (11): 2381. doi:10.3390/app9112381.
  8. ↑ J. K, Lee; H. H., Kung; L. F., Mockros (2008). "Microchannel Technologies for Artificial Lungs: (1) Theory". ASAIO Journal. 54 (4): 372–382. doi:10.1097/MAT.0b013e31817ed9e1. PMID 18645354. S2CID 19505655.
  9. 1 2 Glazier, Douglas S. (2010). "A unifying explanation for diverse metabolic scaling in animals and plants". Biological Reviews. 85 (1): 111–138. doi:10.1111/j.1469-185X.2009.00095.x. PMID 19895606. S2CID 28572410.
  10. ↑ Alberts, Bruce (2002). "The Diversity of Genomes and the Tree of Life". Molecular Biology of the Cell, 4th edition. New York: Garland Science. ISBN 0-8153-3218-1. ISBN 0-8153-4072-9.
  11. ↑ Adam, John (1. 1. 2020). "What's Your Sphericity Index? Rationalizing Surface Area and Volume". Virginia Mathematics Teacher. 46 (2).
  12. ↑ Okie, Jordan G. (mart 2013). "General models for the spectra of surface area scaling strategies of cells and organisms: fractality, geometric dissimilitude, and internalization". The American Naturalist. 181 (3): 421–439. Bibcode:2013ANat..181..421O. doi:10.1086/669150. ISSN 1537-5323. PMID 23448890. S2CID 23434720.
  13. ↑ Whittingham, M (maj 1989). "Basic solid state chemistry Anthony R. West, John Wiley & Sons, New York (1988), 415 pages £13.95 ($32.95)". Solid State Ionics. 34 (3): 213. doi:10.1016/0167-2738(89)90043-x. ISSN 0167-2738.
  14. ↑ Kils, U.: Swimming and feeding of Antarctic Krill, Euphausia superba - some outstanding energetics and dynamics - some unique morphological details. In Berichte zur Polarforschung, Alfred Wegener Institute for Polar and Marine Research, Special Issue 4 (1983): "On the biology of Krill Euphausia superba", Proceedings of the Seminar and Report of Krill Ecology Group, Editor S. B. Schnack, 130-155 and title page image.
  15. ↑ Tortora, Gerard J.; Anagnostakos, Nicholas P. (1987). Principles of anatomy and physiology (Fifth izd.). New York: Harper & Row, Publishers. str. 556–582. ISBN 978-0-06-350729-6.
  16. ↑ Williams, Peter L; Warwick, Roger; Dyson, Mary; Bannister, Lawrence H. (1989). Gray's Anatomy (Thirty-seventh izd.). Edinburgh: Churchill Livingstone. str. 1278–1282. ISBN 0443-041776.
  17. ↑ Romer, Alfred Sherwood; Parsons, Thomas S. (1977). The Vertebrate Body. Philadelphia, PA: Holt-Saunders International. str. 349–353. ISBN 978-0-03-910284-5.
  18. ↑ Krause J. William (juli 2005). Krause's Essential Human Histology for Medical Students. Universal-Publishers. str. 37–. ISBN 978-1-58112-468-2. Pristupljeno 25. 11. 2010.
  19. ↑ Meiri, S.; Dayan, T. (20. 3. 2003). "On the validity of Bergmann's rule". Journal of Biogeography. 30 (3): 331–351. Bibcode:2003JBiog..30..331M. doi:10.1046/j.1365-2699.2003.00837.x. S2CID 11954818.
  20. ↑ Ashton, Kyle G.; Tracy, Mark C.; Queiroz, Alan de (oktobar 2000). "Is Bergmann's Rule Valid for Mammals?". The American Naturalist. 156 (4): 390–415. Bibcode:2000ANat..156..390A. doi:10.1086/303400. JSTOR 10.1086/303400. PMID 29592141. S2CID 205983729.
  21. ↑ Millien, Virginie; Lyons, S. Kathleen; Olson, Link; et al. (23. 5. 2006). "Ecotypic variation in the context of global climate change: Revisiting the rules". Ecology Letters. 9 (7): 853–869. Bibcode:2006EcolL...9..853M. doi:10.1111/j.1461-0248.2006.00928.x. PMID 16796576.
  22. ↑ Fitzpatrick, Katie (2005). "Gigantothermy". Davidson College. Arhivirano s originala, 30. 6. 2012. Pristupljeno 21. 12. 2011.
  23. ↑ "Marsquake! NASA's InSight Lander Feels Its 1st Red Planet Tremor". Space.com. 23. 4. 2019.
  24. ↑ "Archived copy" (PDF). Arhivirano s originala (PDF), 13. 6. 2018. Pristupljeno 22. 8. 2018.CS1 održavanje: arhivirana kopija u naslovu (link)

Vanjski linkovi

[uredi | uredi izvor]
Preuzeto iz "https://bs.wikipedia.org/w/index.php?title=Odnos_površine_i_zapremine&oldid=3903684"