Osna simetrija

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Jump to navigation Jump to search
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Aksioma simetrije

Za svaku pravu u ravni postoji jedna i samo jedna izometrija koja sve tačke prave ostavlja nepokretnim, a poluravan s jedne strane te ravni preslikava na poluravan s druge strane te prave.

Definicija 1

Izometriju u kojoj su sve tačke prave nepokretne i poluravan sjedne strane prave a preslikava se u poluravan s druge strane prave a naziva se osnom (axijalnom , lat ax-os) simetrijom prema pravoj a . ovu simetriju nazivamo još ogledanje (zrcanje) na pravoj a .

Simetrija čija je os simetrije prava a označavamo sa s0

sa(X) = X1 ili sa:X = X1

Konstruktivni zadatak

Za datu tačku X konstruisati tačku sa:X = X1 Ako je tačka X na pravoj a znamo da je X = X1.

Neka tačka X nije na pravoj a . Na osi a uzmimo dvije proizvoljne tačke A, B. Imamo A = A1 i B = B1. Pošto je sa izometrija rastojanja između tačaka i njihovih slika moraju biti jednaka, tj AX = AX1 i BX = BX1 tačke X i X1 jednako su udaljene od tačaka A i B , tj one leže na kružnicama k1 ( A, AX) i k2(B, BX) . znaći tačke X i X1 su presječne tačke kružnica k1 i k2. One se zaista sijeku jer imaju zajedničku tačku X van zajedničke prave a. Tačke X i X1 leže sa raznih strana prave a pa je druga presječna tačka X1 kružnica i k1 i k2 slika tačke X.

Teorema 1

Izometrija u kojoj su sve tačke jedne prave nepokretne i poluravan s jedne strane te prave se preslikava na istu poluravnu je identična izometrija.

Neka je sa(X) = X1 Tda je tačka X slika X1 u istoj izometriji, tj to znaći da su izometrija sa i njoj obrnuta izometrija (sa) -1 jedna ista permutacija.

Definicija 2

Ako za figuru F postoji prava a tako da je sa(F) = F figura se preslikava sasvojom simetričnom slikom, kažemo da je F simetrična prema pravoj a za koju kažemo da je os simetrije. Ili simetrala figure F.

Odnosno: prava a je os simetrije figure F , ako je figura F nepokretna u preslikavanju sa.

Definicija 3

Za pravu prazličitu od prave a kažemo da je normalna (upravna, okomita, ortogonalna)n na pravu a ako se simetrijom prava p preslikava na samu sebe.

Definicija 4

Za duž ili polupravu koja leži na pravoj p koja je okomita na pravu a kazačemo da je normalna na pravu a, također na duž ili polupravu koja se sadrži u pravoj a.

Teorema 3

Duž XX 1 koja spaja par tačaka X i X1 simetrićnih prema pravoj a preslikava se simetrijom na samu sebe., tj a je simetrala te duži. Duž je X X1 je okomita na pravu a i prava a prolazi sredinom duži X X1.

Teorema 4

Poluprava l kojoj je početak O nalazi se na osi, a i njena slika l1. = s a( l).

Teorema 5

Ako je prava p paralelna osi a onda je njena slika paralelna osi a.

Simetrija kružnica[uredi | uredi izvor]

Simetrična slika kružnica[uredi | uredi izvor]

Na osnovu činjenice da je osna simetrija izometrija imamo;

Teorema 6

Osnom simetrijom kružnica k se preslikava na kružnicu k1((O 1.,r) čiji je centar .O1 simetričan centru O prve kružnice i radius jednak radiusu prve kružnice

Ako kružnica k i os simetrije a imaju zajedničkih tačaka onda te tačke pripadaju toj kružnici.

Simetrala kružnica[uredi | uredi izvor]

Teorema 7

Svaka prava koja prolazi kroz centar kružnice je njena os simetrije. To znači da kružnica ima beskonačno mnogo oso simetrije. Dijametralno raspoređene tačke A i B u kojima os simetrije siječe kružnicu so nepokretne , a svaka druga tačka kružnice preslikava se u sebi simetričnu tačku kružnice, koja leži s drugre strane osi a.

Simetrija para kružnica[uredi | uredi izvor]

Teorema 8

Presječne tačke dviju kružnica su simetrične prema zajedničkoj centralnoj pravoj c. Prava koja prolazi kroz te dvije tačke normalna je na pravu c. Prava c je zajednička simetrala zajedničke tetive tih kružnica.

Normalna[uredi | uredi izvor]

[icon] Ova sekcija zahtijeva proširenje.