Osnovne trigonometrijske formule

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Merge-arrows 2.svg Predloženo je da se ovaj članak spoji s člankom Trigonometrija.
Molimo da napišete svoje mišljenje na stranici za razgovor.
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Wiki letter w.svg Ovaj članak je siroče zato što nema ili vrlo malo ima drugih članaka koji linkuju ovamo.
Molimo Vas da postavite linkove prema ovoj stranici sa srodnih članaka(23-02-2012)

Funkcije jednog ugla[uredi | uredi izvor]

\sin ^2\alpha + \cos ^2 \alpha = 1, \quad \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\tan \alpha, \quad \sin \alpha \cdot \csc \alpha = 1,
\sec ^2 \alpha - \tan ^2 \alpha = 1, \qquad \cos \alpha \cdot \sec \alpha = 1,
\csc ^2 \alpha - \cot ^2 \alpha = 1, \quad \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \cot \alpha, \quad \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1

Međusobno izražavanje funkcija[uredi | uredi izvor]

 \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos ^2 \alpha} = \frac{ \tan \alpha}{ \sqrt{ 1 + \tan ^2 \alpha}},
\cos \alpha = \sqrt{1- \sin ^2 \alpha}=\frac{1}{\sqrt{1+ \tan ^2 \alpha}} ,
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\sqrt{1- \sin ^2\alpha}}=\frac{1}{\cot \alpha},
\cot \alpha = \frac{\sqrt{1- \sin ^2\alpha}}{\sin \alpha}= \frac{1}{\tan \alpha}.

Funkcije zbira i razlike[uredi | uredi izvor]

\sin ( \alpha \pm \beta )= \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta,\,
\cos (\alpha \pm \beta )= \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta,
\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}, \quad \cot ( \alpha \pm \beta ) = \frac{\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha}.
\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}, \tan3\alpha=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha},


\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, \quad \sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha,
\cos2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\alpha, \quad \cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha,
\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}, \quad \tan3\alpha=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha},
\cot2\alpha=\frac{\cot^2\alpha-1}{2\cot\alpha}, \quad \cot3\alpha=\frac{\cot^3\alpha-3\cot\alpha}{3\cot^2\alpha-1},
\tan4\alpha=\frac{4\tan\alpha-4\tan^3\alpha}{1-6\tan^2\alpha+\tan^4\alpha}, \quad \cot4\alpha=\frac{\cot^4\alpha-6\cot^2\alpha+1}{4\cot^3\alpha-4\cot\alpha}.

Na osnovu ovih formula možemo odrediti predznak trigonometrijskih funkcija po kvadrantima


Kvadrant 0°- 90° 90°- 180° 180°- 270° 270°- 360°
sinus + + - -
kosinus + - - +
tangens + - + -

Zbir i razlika trigonometrijskih funkcija[uredi | uredi izvor]

\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},
\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2},
\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2},
\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2},
\tan\alpha\pm\tan\beta=\frac{\sin (\alpha\pm\beta )}{\cos\alpha\cos\beta}, \quad \cot\alpha\pm\cot\beta=\pm\frac{\sin (\alpha\pm\beta)}{\sin\alpha\sin\beta},
\tan\alpha+\cot\beta=\frac{\cos (\alpha-\beta)}{\cos\alpha\sin\beta}, \quad \cot\alpha-\tan\beta=\frac{cos (\alpha+\beta)}{\sin\alpha\cos\beta}.

Proizvod funkcija[uredi | uredi izvor]

\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)],
\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)+cos(\alpha+\beta)],
\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)].

Funkcije polovine ugla[uredi | uredi izvor]

\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}, \quad \cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},
\tan\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},
\cot\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}.

Stepenovanje funkcija[uredi | uredi izvor]

\sin^2\alpha=\frac{1}{2}(1-\cos2\alpha), \quad \cos^2\alpha=\frac{1}{2}(1+\cos2\alpha),

\sin^3\alpha=\frac{1}{4}(3\sin\alpha-\sin3\alpha), \quad \cos^3\alpha=\frac{1}{4}(\cos3\alpha+3\cos\alpha), \sin^4\alpha=\frac{1}{8}(\cos4\alpha-4\cos2\alpha+3), \quad \cos^4\alpha=\frac{1}{8}(\cos4\alpha+4\cos2\alpha+3).