P-norma

S Wikipedije, slobodne enciklopedije

Norme na su realne funkcije na koje imaju određene osobine. Važnu klasu takvih funkcija čine p-norme.

p-norme možemo definisati za svaki realan broj te za .

2-norma standardna euklidska norma

1-norma je poznata pod nazivom taxicab- norma a -normu obično nazivamo max-norma. Svaka norma definiše udaljenost (metriku). Uvođenjem p-normi dobili smo razne načine za računanje udaljenosti između dvije tačke.

Definicija 1[uredi | uredi izvor]

Realna funkcija  : naziva se norma na R2 ako ima sljedeće osobine:

Za sve i sve Zadajući neku normu na , postaje normirani prostor.

Primjer norme na je Euklidska norma koja predstavlja dužinu dužine čije su krajnje tačke ( i , tj.

koja predstavlja poseban slučaj p-normi

Definicija 2[uredi | uredi izvor]

Za svaki realni broj p, definišimo

Funkcija je p- norma na Da bi bili li sigurni da je ovo norma moramo provjeriti da li funkcija zadovoljava uslove iz definicije 1. Osobine (1), (2) i (4) se lako provjere, dok je provjera (3) poznata kao nejednakost trougla, za ovaj dokaz koristi se Youngova nejednakost.

Za sve takve da je vrijedi

Teorema 1[uredi | uredi izvor]

Za svaki formulom

Dokaz

Treba dokazati da za svaki vrijedi

tj.

za sve

Za

Za

U nejednakosti

uvrstit ćemo izraze za ,

i a zatim

i

dobijamo nejednakosti

saberemo li ih dobijamo nejednakosti

tj

za svako

Ako uzmemo za i ( za i smatrajući

Zamjenom uloga x i u , y i v imamo

na osnovu ranijih nejednakosti imamo

odnosno

Dijeljenjem s drugim faktorom s desne strane slijedi

Izvor[uredi | uredi izvor]

p-norme na , kružnice i brojevi // Ljiljana Arambašić Ivona Zavišic //Osječki matematički list (10(2010), 131{138)