Paraboloid

Paraboloid je geometrijsko tjelo, njegovi rezovi ravni su dvije parabole i elipsa ili hiperbola.

Pojmom paraboloid biva označen omotač navedenog tjela.

Eliptični paraboloid

Eliptični parabolid

Eliptični paraboloid je tjelo, čija baza ima eliptični oblik.

Algebarski model

Eliptični paraboloid s vrhom u tački $[x_{0},y_{0},z_{0}]$$[x_{0},y_{0},z_{0}]$ i ravni simetrije paralelnim s ravni $x=0$$x=0$ i $y=0$$y=0$ ima jednačinu

$z-z_{0}={\frac {{(x-x_{0})}^{2}}{2p}}+{\frac {{(y-y_{0})}^{2}}{2q}}$$z-z_{0}={\frac {{(x-x_{0})}^{2}}{2p}}+{\frac {{(y-y_{0})}^{2}}{2q}}$,

gdje $pq>0$$pq>0$.

Rotacioni paraboloid

Rotacioni paraboloid.

Rotacioni paraboloid je tjelo omeđeno prostorom, koji nastane rotacijom parabole oko njene ose i krugom, koji tvori bazu tjela.

Alegebarski model

Rotacioni paraboloid s vrhomm u tački $[x_{0},y_{0},z_{0}]$$[x_{0},y_{0},z_{0}]$ je specijalan slučaj eliptičnog parabolida, za koji vrijedi $p=q$$p=q$, to znači za rotacioni paraboloid s osoom rotacije paralelnoj s osom $z$$z$ vrijedi

$2p(z-z_{0})={(x-x_{0})}^{2}+{(y-y_{0})}^{2}$$2p(z-z_{0})={(x-x_{0})}^{2}+{(y-y_{0})}^{2}$.

Osobine

Volumen rotacionog paraboloida je

$V={\frac {1}{2}}\pi \rho ^{2}h$$V={\frac {1}{2}}\pi \rho ^{2}h$,

gdje $\rho$$\rho$ je poluprečnik kružne baze i $h$$h$ je visina paraboloida.

Hiperbolički paraboloid

Hiperbolički paraboloid.

Osim eliptičnog postoji i hiperbolički paraboloid.

Algebarski model

Hyperbolický paraboloid s vrhom u tački $[x_{0},y_{0},z_{0}]$$[x_{0},y_{0},z_{0}]$ i ravni simetrije paralelne s ravni $x=0$$x=0$ i $y=0$$y=0$ ima jednačinu

$z-z_{0}={\frac {{(x-x_{0})}^{2}}{2p}}-{\frac {{(y-y_{0})}^{2}}{2q}}$$z-z_{0}={\frac {{(x-x_{0})}^{2}}{2p}}-{\frac {{(y-y_{0})}^{2}}{2q}}$,

gdje $pq>0$$pq>0$.

Osobine

U oblasti hiperboličkog parabolida postoje dva sistema pravih, pri čemu svaka prava jednog sistema presjeca svaku pravu drugog sistema, ili proizvoljne dvije prave jednog sistema su mimoilazne. Za paraboloid se centrom u tački $[0,0,0]$$[0,0,0]$ mogu se oba sistema pravih zapisati kao

$k_{1}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}+{\frac {y}{\sqrt {2|q|}}}\right)={\frac {p}{|p|}}k_{2}z$$k_{1}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}+{\frac {y}{\sqrt {2|q|}}}\right)={\frac {p}{|p|}}k_{2}z$

$k_{2}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}-{\frac {y}{\sqrt {2|q|}}}\right)=k_{1}$$k_{2}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}-{\frac {y}{\sqrt {2|q|}}}\right)=k_{1}$

$k_{1}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}-{\frac {y}{\sqrt {2|q|}}}\right)={\frac {p}{|p|}}k_{2}z$$k_{1}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}-{\frac {y}{\sqrt {2|q|}}}\right)={\frac {p}{|p|}}k_{2}z$

$k_{2}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}+{\frac {y}{\sqrt {2|q|}}}\right)=k_{1}$$k_{2}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}+{\frac {y}{\sqrt {2|q|}}}\right)=k_{1}$

Također pogledajte

• Parabola