Parcijalna integracija

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije
Idi na: navigacija, traži
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe validnim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Teme u kalkulusu

Fundamentalni teorem
Limesi funkcija
Kontinuitet
Teorem srednje vrijednosti

U kalkulusu, i generalno, u matematičkoj analizi, parcijalna integracija je pravilo koji transformiše integrale proizvoda funkcija je druge, vjerovatno jednostavnije integrale. Do ovog pravila dolazimo preko diferencijacije pravila derivacije proizvoda.

Pravilo[uredi | uredi izvor]

Pretpostavimo da su f(x) i g(x) dvije više puta diferencijabilne funkcije. Tada pravilo parcijalne integracije kaže da kada imamo intervale sa krajnjim tačkama a i b, dobijamo gdje koristimo standardne oznake

Pravilo se dokazuje pravilom derivacije proizvoda i fundamentalnom teoremom kalkulusa. Zbog toga je

U tradicionalnom kalkulusu, ovo pravilo se koristi kod neodređenog integrala u formi

ili u kraćoj formi, ako napišemo u = f(x), v = g(x) i diferencijali du = f′(x) dx i dv = g′(x) dx. Tada je u formi u kojoj je najčešće susrećemo:

Primjeri[uredi | uredi izvor]

Kako bi izračunali

napišemo:

u = x, tako da je du = dx,
dv = cos(x) dx, tako da je v = sin(x).

Zatim:

gdje je C arbitražna konstanta integracije.

Ako iznova koristimo parcijalnu integraciju, integrali kao što su

mogu se izračunati veoma lagano: ponavljanje ovog postupka smanjuje potenciju x za jedan.

Interesantan primjer je sljedeći:

gdje se, na kraju, ne mora primjenjivati stvarna integracija.

Kod ovog primjere, parcijalna integracija se primjeni dva puta. Kao prvo, napišimo:

u = cos(x); tako da je du = -sin(x)dx
dv = exdx; tako da je v = ex

Zatim:

Sada, kako bi izračunali integral koji nam je ostao, ponovo koristimo parcijalnu integraciju, sa:

u = sin(x); du = cos(x)dx
v = ex; dv = exdx

Zatim:

Sklopivši sve to zajedno, dobijamo

Primijetimo da se isti integral pojavljuje na obje strane jednačine. Prebacimo sve na jednu stranu i dobijamo:

Još dva dobro poznata primjera primjene parcijalne integracije je kada je funkcija izražena kao proizvod 1 i same sebe.

Prvi primjer je ∫ ln(x) dx. Ovo pišemo kao:

Napišimo:

u = ln(x); du = 1/x dx
v = x; dv = 1·dx

Zatim:

gdje je, ponovo, C arbitražna konstanta integracije

Drugi primjer je ∫ arctan(x) dx, gdje je arctan(x) inverzna tangensna funkcija. Ovo ponovo napišemo kao:

Napišimo:

u = arctan(x); du = 1/(1+x2) dx
v = x; dv = 1·dx

Zatim:

koristeći kombinaciju pravilo inverzne derivacije složene funkcije i uslov integriranja prirodnog logaritma.

Više dimenzije[uredi | uredi izvor]

[icon] Ova sekcija zahtijeva proširenje.

Kulturološke reference[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi[uredi | uredi izvor]