Idi na sadržaj

Parnost nule

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
Prazna vaga
Zdjelice ove vage sadrže nula predmeta, podijeljenih u dvije jednake grupe.

U matematici, nula je paran broj. Drugim riječima, njena parnost – karakteristika cijelog broja da bude paran ili neparan – parna je. Ovo se može lahko provjeriti na osnovu definicije "parnog": nula je cjelobrojni višekratnik broja dva, tačnije 0 × 2. Kao rezultat, nula dijeli sva svojstva koja karakterišu parne brojeve: naprimjer, nula je s obje strane okružena neparnim brojevima, svaki decimalni cijeli broj ima istu parnost kao i njegova posljednja cifra – pa pošto je deset parno, nula će biti parna, a ako je y parno, onda y + x ima istu parnost kao x – zaista, 0 + x i x uvijek imaju istu parnost.

Nula se također uklapa u obrasce koje formiraju drugi parni brojevi. Pravila parnosti u aritmetici, kao što je paran − paran = paran, zahtijevaju da nula bude parna. Nula je aditivni neutralni element grupe parnih cijelih brojeva, i ona je početni slučaj iz kojeg se drugi parni prirodni brojevi rekurzivno definišu. Primjene ove rekurzije, od teorije grafova do računarske geometrije, oslanjaju se na to da je nula parna. Ne samo da je nula djeljiva sa dva, nego je djeljiva sa svakim stepenom broja dva, što je važno za binarni brojni sistem koji koriste računari. U tom smislu, riječ je o broju koji je "najparniji" od svih.[1]

Među širom javnosti, parnost nule može biti izvor zabune. U eksperimentima za vrijeme reakcije, većina ljudi sporije identifikuje nulu kao paran broj nego brojeve dva, četiri, šest ili osam. Neki nastavnici – kao i neka djeca na časovima matematike – misle da je nula neparna, ili i parna i neparna, ili nijedno. Istraživači u oblasti matematičkog obrazovanja predlažu da ove zablude mogu postati prilike za učenje. Proučavanje jednakosti kao što je 0 × 2 = 0 može otkloniti sumnje učenika u vezi s nazivanjem nule brojem i njenim korištenjem u aritmetici. Diskusije u razredu mogu navesti učenike da cijene osnovne principe matematičkog zaključivanja, kao što je važnost definicija. Ocjenjivanje parnosti ovog izuzetnog broja rani je primjer sveprisutne teme u matematici: apstrakcije poznatog koncepta u nepoznato okruženje.

Zašto je nula parna

[uredi | uredi izvor]

Standardna definicija "parnog broja" može se upotrijebiti da se direktno dokaže da je nula parna. Broj se naziva "parnim" ako je cjelobrojni višekratnik broja dva. Kao primjer, razlog zašto je deset paran broj jeste taj što je jednak 5 × 2. Na isti način, nula je cjelobrojni višekratnik broja dva, naime 0 × 2, pa je nula parna.[2]

Također je moguće objasniti zašto je nula parna bez pozivanja na formalne definicije.[3] Sljedeća objašnjenja daju smisao ideji da je nula parna u smislu osnovnih koncepata brojeva. Na tom temelju, moguće je pružiti logično objašnjenje za samu definiciju – i njenu primjenjivost na nulu.

Osnovna objašnjenja

[uredi | uredi izvor]
Na lijevoj strani, okviri s 0, 2 i 4 bijela predmeta u parovima; na desnoj strani, 1, 3 i 5 predmeta, s neuparenim predmetom u crvenoj boji
Okvir s nula predmeta nema crvenog predmeta koji je ostao kao višak.[4]

Kad je dat skup predmeta, broj se koristi za opisivanje koliko predmeta ima u skupu. Nula je broj nijednog predmeta; u formalnijim terminima, to je broj predmeta u praznom skupu. Koncept parnosti koristi se za pravljenje grupa od po dva predmeta. Ako se predmeti u skupu mogu podijeliti u grupe od po dva, bez ostatka, onda je broj predmeta paran. Ako jedan predmet ostane, onda je broj predmeta neparan. Prazan skup sadrži nula grupa od po dva, i nijedan predmet ne ostaje nakon ovog grupisanja, pa je nula parna.[5]

Ove ideje mogu se ilustrovati crtanjem predmeta u parovima. Teško je prikazati nula grupa od po dva, ili naglasiti nepostojanje preostalog predmeta, pa pomaže nacrtati druga grupisanja i uporediti ih s nulom. Naprimjer, u grupi od pet predmeta postoje dva para. Što je još važnije, postoji preostali predmet, pa je pet neparno. U grupi od četiri predmeta nema preostalog predmeta, pa je četiri parno. U grupi od samo jednog predmeta nema parova, i postoji preostali predmet, pa je jedan neparno. U grupi od nula predmeta nema preostalog predmeta, pa je nula parna.[6]

Postoji još jedna konkretna definicija parnosti: ako se predmeti u skupu mogu smjestiti u dvije grupe jednake veličine, onda je broj predmeta paran. Ova definicija ekvivalentna je prvoj. Opet, nula je parna jer se prazan skup može podijeliti u dvije grupe od po nula elemenata.[7]

Brojevi se također mogu vizualizirati kao tačke na brojevnoj pravoj. Kada se parni i neparni brojevi razlikuju jedni od drugih, njihov obrazac postaje očigledan, posebno ako su uključeni negativni brojevi:

Cijeli brojevi od −4 do 10; parni brojevi su prazni krugovi; neparni brojevi su tačke

Parni i neparni brojevi smjenjuju se. Počevši od bilo kojeg parnog broja, brojanje prema gore ili dolje za dva dolazi do drugih parnih brojeva, te nema razloga da se preskoči nula.[8]

Uvođenjem množenja, parnosti se može pristupiti na formalniji način koristeći aritmetičke izraze. Svaki cijeli broj je ili oblika (2 × ▢) + 0 ili (2 × ▢) + 1; prvi brojevi su parni, a drugi su neparni. Naprimjer, jedan je neparan jer je 1 = (2 × 0) + 1, a nula je parna jer je 0 = (2 × 0) + 0. Pravljenje tabele ovih činjenica zatim pojačava sliku brojevne prave iznad.[9]

Definisanje parnosti

[uredi | uredi izvor]

Precizna definicija matematičkog termina, kao što je "paran" što znači "cjelobrojni višekratnik broja dva", u konačnici jeste stvar konvencije. Za razliku od termina "paran", neki matematički termini namjerno su konstruisani da isključe trivijalne ili degenerisane slučajeve. Prosti brojevi poznat su primjer. Prije dvadesetog stoljeća, definicije prostih brojeva bile su nedosljedne, a značajni matematičari poput Goldbacha, Lamberta, Legendrea, Cayleya i Kroneckera pisali su da je broj jedan prost.[10] Moderna definicija "prostog broja" jeste "pozitivni cijeli broj s tačno dva djelitelja", tako da jedan nije prost. Ova definicija može se logički opravdati uočavanjem da prirodnije odgovara matematičkim teoremama koje se odnose na proste brojeve. Naprimjer, osnovna teorema aritmetike lakše se formuliše kada se broj jedan ne smatra prostim.[11]

Bilo bi moguće na sličan način redefinisati termin "paran" tako da više ne uključuje nulu. Međutim, u ovom slučaju, nova definicija otežala bi formulisanje teorema u vezi s parnim brojevima. Efekat se već može vidjeti u algebarskim pravilima koja upravljaju parnim i neparnim brojevima.[12] Najvažnija pravila odnose se na sabiranje, oduzimanje i množenje:

paran ± paran = paran
neparan ± neparan = paran
paran × cijeli broj = paran

Ubacivanjem odgovarajućih vrijednosti u lijeve strane ovih pravila, može se dobiti nula na desnim stranama:

2 − 2 = 0
−3 + 3 = 0
4 × 0 = 0

Gore navedena pravila stoga bi bila netačna da nula nije parna.[12] U najboljem slučaju, morala bi biti modifikovana. Naprimjer, jedan vodič za učenje za testove tvrdi da se parni brojevi karakterišu kao cjelobrojni višekratnici broja dva, ali da nula "nije ni parna ni neparna".[13] Shodno tome, pravila vodiča za parne i neparne brojeve sadrže izuzetke:

paran ± paran = paran (ili nula)
neparan ± neparan = paran (ili nula)
paran × nenulti cijeli broj = paran[13]

Pravljenje izuzetka za nulu u definiciji parnosti primorava osobu da napravi takve izuzetke u pravilima za parne brojeve. Iz druge perspektive, uzimanje pravila kojih se drže pozitivni parni brojevi i zahtijevanje da ona nastave važiti za cijele brojeve primorava na uobičajenu definiciju i parnost nule.[12]

Matematički konteksti

[uredi | uredi izvor]

Neizmjerni rezultati u teoriji brojeva pozivaju se na osnovnu teoremu aritmetike i algebarska svojstva parnih brojeva, pa gore navedeni izbori imaju dalekosežne posljedice. Naprimjer, činjenica da pozitivni brojevi imaju jedinstvene faktorizacije znači da se može odrediti ima li broj paran ili neparan broj različitih prostih faktora. Budući da jedan nije prost broj, niti ima proste faktore, on je prazan proizvod nula različitih prostih brojeva; budući da je nula paran broj, jedan ima paran broj različitih prostih faktora. To implicira da Möbiusova funkcija uzima vrijednost μ(1) = 1, što je neophodno da bi bila multiplikativna funkcija i da bi Möbiusova formula inverzije radila.[14]

Odsustvo neparnosti

[uredi | uredi izvor]

Broj n jeste neparan ako postoji cijeli broj k takav da je n = 2k + 1. Jedan od načina da se dokaže da nula nije neparna jeste dokaz kontradikcijom: ako je 0 = 2k + 1 onda je k = −1/2, što nije cijeli broj.[15] Budući da nula nije neparna, ako se dokaže da je neki nepoznat broj neparan, onda on ne može biti nula. Ovo naizgled trivijalno zapažanje može pružiti zgodan i jasan dokaz koji objašnjava zašto je neki neparan broj različit od nule.

Klasični rezultat teorije grafova navodi da graf neparnog reda (koji ima neparan broj čvorova) uvijek ima barem jedan čvor parnog stepena. (Sama izjava zahtijeva da nula bude parna: prazan graf ima paran red, a izolovani čvor ima paran stepen.)[16] Kako bi se dokazala ova tvrdnja, zapravo je lakše dokazati snažniji rezultat: svaki graf neparnog reda ima neparan broj čvorova parnog stepena. Pojava ovog neparnog broja objašnjena je još općijim rezultatom, poznatim kao lema o rukovanju: svaki graf ima paran broj čvorova neparnog stepena.[17] Na kraju, paran broj neparnih čvorova prirodno se objašnjava formulom sume stepena.

Spernerova lema jeste naprednija primjena iste strategije. Lema navodi da određena vrsta bojenja na triangulaciji simpleksa ima podsimpleks koji sadrži sve boje. Umjesto da se direktno konstruira takav podsimpleks, praktičnije je dokazati da postoji neparan broj takvih podsimpleksa pomoću argumenta matematičke indukcije.[18] Snažnija formulacija leme tada objašnjava zašto je ovaj broj neparan: on se prirodno razlaže kao (n + 1) + n kada se u obzir uzmu dvije moguće orijentacije simpleksa.[19]

Smjenjivanje parnog i neparnog

[uredi | uredi izvor]
0->1->2->3->4->5->6->... u naizmjeničnim bojama
Rekurzivna definicija parnosti prirodnih brojeva

Činjenica da je nula parna, zajedno sa činjenicom da se parni i neparni brojevi smjenjuju, dovoljna je da se odredi parnost svakog drugog prirodnog broja. Ova ideja može se formalizirati u rekurzivnu definiciju skupa parnih prirodnih brojeva:

  • 0 jeste parno.
  • (n + 1) jeste parno ako i samo ako n nije parno.

Ova definicija ima konceptualnu prednost jer se oslanja samo na minimalne osnove prirodnih brojeva: postojanje nule i funkcije sljedbenika. Kao takva, korisna je za računarske logičke sisteme kao što su LF i dokazivač teorema Isabelle.[20] S ovom definicijom, parnost nule nije teorema nego aksiom. Zaista, "nula je paran broj" može se tumačiti kao jedan od Peanovih aksioma, za koje su parni prirodni brojevi model.[21] Slična konstrukcija proširuje definiciju parnosti na transfinitne ordinalne brojeve: svaki granični ordinal je paran, uključujući nulu, a sljedbenici parnih ordinala su neparni.[22]

Nekonveksni poligon probijen strelicom, označen s 0 s vanjske strane, 1 s unutrašnje, 2 s vanjske itd.
Test pripadnosti tačke poligonu

Klasični test određivanja nalazi li se tačka u poligonu iz računarske geometrije primjenjuje gore navedene ideje. Da bi se odredilo leži li tačka unutar poligona, baca se zraka iz beskonačnosti prema tački i broji se koliko puta zraka presiječe rub poligona. Broj presjeka jeste paran ako i samo ako je tačka izvan poligona. Ovaj algoritam funkcioniše jer, ako zraka nikada ne presiječe poligon, njen broj presjeka je nula, što je parno, pa je tačka izvan. Svaki put kad zraka presiječe poligon, broj presjeka naizmjenično se mijenja između parnog i neparnog, a tačka na njenom vrhu naizmjenično se mijenja između onog da je izvan i onog da je unutar.[23]

Graf s 9 čvorova, naizmjeničnih boja, označen udaljenošću od čvora na lijevoj strani
Konstrukcija biparticije

U teoriji grafova, bipartitni graf jeste graf čiji su čvorovi podijeljeni u dvije boje, tako da susjedni čvorovi imaju različite boje. Ako povezani graf nema neparnih ciklusa, biparticija se može konstruisati odabirom baznog čvora v i bojenjem svakog čvora u crno ili bijelo, ovisno o tome je li njegova udaljenost od v parna ili neparna. Budući da je udaljenost između v i njega samog jednaka nula, a nula je parna, bazni čvor je obojen različito od svojih susjeda, koji se nalaze na udaljenosti od jedan.[24]

Algebarski obrasci

[uredi | uredi izvor]
Cijeli brojevi od −4 do +4 raspoređeni u obliku vadičepa, sa pravom linijom koja prolazi kroz parne brojeve
2Z (plavo) kao podgrupa od Z

U apstraktnoj algebri, parni cijeli brojevi formiraju različite algebarske strukture koje zahtijevaju uključivanje nule. Činjenica da je aditivni neutralni element (nula) paran, zajedno s parnošću suma i inverznih elemenata parnih brojeva za sabiranje, te sa asocijativnošću sabiranja, znači da parni cijeli brojevi formiraju grupu. Štaviše, grupa parnih cijelih brojeva pod sabiranjem je podgrupa grupe svih cijelih brojeva; to je osnovni primjer koncepta podgrupe.[16] Ranije zapažanje da pravilo "paran − paran = paran" primorava nulu da bude parna predstavlja dio općeg obrasca: svaki neprazan podskup aditivne grupe koji je zatvoren pri oduzimanju mora biti podgrupa, i posebno, mora sadržavati neutralni element.[25]

Budući da parni cijeli brojevi formiraju podgrupu cijelih brojeva, oni vrše particiju skupa cijelih brojeva na klase ekvivalencije (kosete). Ovi koseti mogu se opisati kao klase ekvivalencije sljedeće relacije ekvivalencije: x ~ y ako je (x − y) parno. Ovdje se parnost nule direktno manifestuje kao refleksivnost binarne relacije ~.[26] Postoje samo dva koseta ove podgrupe – parni i neparni brojevi – tako da ima indeks dva.

Slično tome, alternirajuća grupa je podgrupa indeksa dva u simetričnoj grupi od n slova. Elementi alternirajuće grupe, zvani parne permutacije, jesu proizvodi parnog broja transpozicija. Funkcija identiteta, prazan proizvod nijedne transpozicije, predstavlja parnu permutaciju budući da je nula parna; to je neutralni element grupe.[27]

Pravilo "paran × cijeli broj = paran" znači da parni brojevi formiraju ideal u prstenu cijelih brojeva, a gore navedena relacija ekvivalencije može se opisati kao ekvivalencija modulo ovaj ideal. Posebno, parni cijeli brojevi su tačno oni cijeli brojevi k gdje je k ≡ 0 (mod 2). Ova formulacija jeste korisna za istraživanje cjelobrojnih nula polinoma.[28]

2-adični red

[uredi | uredi izvor]

Postoji smisao u kojem su neki višekratnici broja dva "parniji" od drugih. Višekratnici broja četiri nazivaju se dvostruko parnima, jer se mogu podijeliti sa dva dvaput. Ne samo da je nula djeljiva sa četiri, nula ima jedinstveno svojstvo da je djeljiva sa svakim stepenom broja dva, pa nadmašuje sve druge brojeve u "parnosti".[1]

Jedna posljedica ove činjenice pojavljuje se u poretku sa zamjenom bitova za cjelobrojne tipove podataka koje koriste neki računarski algoritmi, kao što je Cooley–Tukeyjeva brza Fourierova transformacija. Ovaj poredak ima svojstvo da, što se više ulijevo pojavi prva jedinica u binarnom zapisu broja, ili što je broj puta djeljiviji sa dva, to se prije pojavljuje. Zamjena bitova nule i dalje je nula; može se podijeliti sa dva bilo koji broj puta, a njen binarni zapis ne sadrži nijednu jedinicu, pa uvijek dolazi prva.[29]

Iako je nula djeljiva sa dva više puta od bilo kojeg drugog broja, nije jednostavno tačno kvantifikovati koliko je to puta. Za bilo koji nenulti cijeli broj n, može se definisati 2-adični red broja n kao broj puta koliko je n djeljiv sa dva. Ovaj opis ne funkcioniše za nulu; bez obzira na to koliko je puta podijeljena sa dva, uvijek se može ponovo podijeliti sa dva. Umjesto toga, uobičajena konvencija jeste postaviti 2-red nule da bude beskonačnost, kao poseban slučaj.[30] Ova konvencija nije specifična samo za 2-red; to je jedan od aksioma aditivne valuacije u višoj algebri.[31]

Stepeni broja dva – 1, 2, 4, 8, ... – formiraju jednostavan niz brojeva s rastućim 2-redom. U 2-adičnim brojevima, ovakvi nizovi zapravo konvergiraju prema nuli.[32]

Obrazovanje

[uredi | uredi izvor]
Trakasti grafikon; pogledati opis u glavnom tekstu
Procentualni odgovori tokom vremena[33]

Tema parnosti nule često se obrađuje u prve dvije ili tri godine osnovnog obrazovanja, u okviru kojeg se uvodi i razvija koncept parnih i neparnih brojeva.[34]

Znanje učenika

[uredi | uredi izvor]

Grafikon s desne strane[33] prikazuje uvjerenja djece o parnosti nule dok napreduju od prvog razreda (dob pet–šest godina) do šestog razreda (dob deset–jedanaest godina) engleskog obrazovnog sistema. Podaci potječu od Lena Frobishera, koji je proveo par anketa među engleskim školarcima. Frobishera je zanimalo kako se znanje o parnosti jednocifrenih brojeva prenosi na znanje o parnosti višecifrenih brojeva, a nula se ističe u rezultatima.[35]

U preliminarnoj anketi na gotovo četiri stotine sedmogodišnjaka, 45 posto odabralo je parno umjesto neparno kada su bili upitani za parnost nule.[36] Naknadno istraživanje ponudilo je više izbora: nijedno, oboje i ne znam. Ovaj put, broj djece u istom dobnom rasponu koja su identifikovala a nulu kao paran broj opao je na 32 posto.[37] Uspjeh u odlučivanju da je nula parna u početku raste i zatim se stabilizuje na približno 50 posto u razredima od trećeg do šestog.[38] Za poređenje, najlakši zadatak, identifikovanje parnosti jedne cifre, stabilizira se na oko 85 posto uspjeha.[39]

U intervjuima je Frobisher izvukao razmišljanja učenika. Učenik petog razreda odlučio je da je nula parna jer se našla u tablici množenja broja dva. Par učenika četvrtog razreda shvatili su da se nula može podijeliti na jednake dijelove. Još jedan učenik četvrtog razreda zaključio je: "Jedan je neparno, a ako se spustim dolje, onda je to parno."[40] Intervjui su također otkrili zablude koje stoje iza pogrešnih odgovora. Učenik drugog razreda bio je "sasvim uvjeren" da je nula neparna, s obrazloženjem da "to je prvi broj koji brojiš".[41] Učenik četvrtog razreda nazvao je nulu "ništa" i mislio je da nije ni neparna ni parna, jer "to nije broj".[42] U drugoj studiji, Annie Keith posmatrala je razred od petnaest učenika drugog razreda koji su jedni druge uvjeravali da je nula paran broj, zasnovano na naizmjeničnom smjenjivanju parnih i neparnih brojeva te na mogućnosti podjele grupe od nula stvari u dvije jednake grupe.[43]

Dublje istrage proveli su Esther Levenson, Pessia Tsamir i Dina Tirosh, koji su intervjuirali dvoje učenika šestog razreda u SAD-u koji su pokazivali visoke rezultate na časovima matematike. Jedan učenik preferirao je deduktivna objašnjenja matematičkih tvrdnji, dok je drugi preferirao praktične primjere. Oba učenika u početku su mislila da nula nije ni parna ni neparna, iz različitih razloga. Levenson i drugi pokazali su kako je rezonovanje učenika odražavalo njihove koncepte o nuli i dijeljenju.[44]

Tvrdnje koje su iznijeli učenici[45]
"Nula nije ni parna ni neparna."
"Nula bi mogla biti parna."
"Nula nije neparna."
"Nula mora biti parna."
"Nula nije paran broj."
"Nula će uvijek biti paran broj."
"Nula neće uvijek biti paran broj."
"Nula je parna."
"Nula je posebna."

Deborah Loewenberg Ball analizirala je ideje američkih učenika trećeg razreda o parnim i neparnim brojevima, te o nuli, o kojima su upravo raspravljali s grupom učenika četvrtog razreda. Učenici su razgovarali o parnosti nule, pravilima za parne brojeve i o tome kako se matematika radi. Tvrdnje o nuli imale su različite oblike, kao što se vidi na spisku desno.[45] Ball i njeni koautori tvrdili su da je epizoda pokazala kako učenici mogu "raditi matematiku u školi", za razliku od uobičajenog svođenja discipline na mehaničko rješavanje zadataka.[46]

Jedna od tema u istraživačkoj literaturi jeste tenzija između vizualnih slika koncepata parnosti koje učenici imaju i njihovih definicija koncepata.[47] Učenici šestog razreda iz studije Levenson i drugih definisali su parne brojeve kao višekratnike broja dva ili brojeve djeljive sa dva, ali na početku nisu bili u stanju primijeniti ovu definiciju na nulu jer nisu bili sigurni kako da pomnože ili podijele nulu sa dva. Intervjuer ih je na kraju naveo na zaključak da je nula parna; učenici su došli do tog zaključka različitim putevima, oslanjajući se na kombinaciju slika, definicija, praktičnih objašnjenja i apstraktnih objašnjenja. U drugoj studiji, David Dickerson i Damien Pitman ispitivali su korištenje definicija od strane pet naprednih dodiplomskih studenata na smjeru matematika. Otkrili su da su studenti dodiplomskog studija uglavnom bili sposobni primijeniti definiciju pojma "paran" na nulu, ali ih i dalje nije ubijedilo to obrazloženje, budući da je bilo u sukobu s njihovim vizualnim slikama o konceptima.[7]

Znanje nastavnika

[uredi | uredi izvor]

Istraživači matematičkog obrazovanja sa Univerziteta u Michiganu uključili su pitanje tipa tačno/netačno – "0 je paran broj" – u bazu podataka od više od 250 pitanja dizajniranih da izmjere poznavanje gradiva kod nastavnika. To pitanje za njih ilustruje "opće znanje ... koje bi svaki dobro obrazovani odrasli čovjek trebao imati", i "ideološki je neutralno" jer se odgovor ne razlikuje između tradicionalne matematike i njenih reformiranih verzija. U studiji provedenoj u Sjedinjenim Američkim Državama od 2000. do 2004, u kojoj je učestvovalo sedam stotina nastavnika u osnovnim školama, ukupni rezultati na ovakvim pitanjima značajno su predvidjeli poboljšanja u rezultatima standardizovanih testova učenika nakon što su pohađali časove kod tih nastavnika.[48] U dubljoj studiji iz 2008. godine, istraživači su pronašli školu u kojoj su svi nastavnici smatrali da nula nije ni neparna ni parna, uključujući jednog nastavnika koji je bio uzoran po svim ostalim mjerilima. Zabludu je proširio trener matematike u njihovoj ustanovi.[49]

Nije poznato koliko nastavnika gaji zablude o nuli. Studije u Michiganu nisu objavile podatke za pojedinačna pitanja. Betty Lichtenberg, vanredna profesorica matematičkog obrazovanja na Univerzitetu u Južnoj Floridi, izvijestila je u studiji iz 1972. godine da su, kada je grupi budućih nastavnika u osnovnim školama dat test tačno/netačno, u koji je bila uključena tvrdnja "Nula je paran broj", oni to smatrali "trik-pitanjem", a približno dvije trećine odgovorile su "netačno".[50]

Implikacije za podučavanje

[uredi | uredi izvor]

S matematičkog stanovišta, dokazivanje da je nula parna jednostavna je primjena definicije, ali više objašnjenja potrebno je u kontekstu obrazovanja. Jedan problem tiče se osnova dokaza; definicija riječi "paran" kao "cjelobrojni višekratnik broja dva" nije uvijek prikladna. Učenik u prvim godinama osnovnog obrazovanja možda još nije naučio šta znači "cijeli broj" ili "višekratnik", a kamoli kako se množi s nulom.[51] Osim toga, navođenje definicije parnosti za sve cijele brojeve može izgledati kao proizvoljna konceptualna prečica ako su jedini dosad proučavani parni brojevi bili pozitivni. Od pomoći može biti priznavanje da, kako se koncept broja proširuje sa pozitivnih cijelih brojeva tako da uključuje nulu i negativne cijele brojeve, svojstva brojeva poput parnosti također se proširuju na netrivijalan način.[52]

Numerička kognicija

[uredi | uredi izvor]
Brojevi 0–8, ponovljeni dvaput, u kompleksnom aranžmanu; nule su na vrhu, odvojene tačkastom linijom
Statistička analiza eksperimentalnih podataka, prikazuje odvajanje nule. U ovoj analizi najmanjeg prostora, samo je grupisanje podataka značajno; osi su proizvoljne.[53]

Odrasle osobe koje vjeruju da je nula parna mogu uprkos tome biti nenaviknute na pomisao da je ona parna, i to do te mjere da ih to mjerljivo usporava u eksperimentu za vrijeme reakcije. Stanislas Dehaene, pionir u polju numeričke kognicije, vodio je niz takvih eksperimenata početkom devedesetih godina dvadesetog stoljeća. Brojčani znak blica se ispitaniku na računarskom monitoru, a računar bilježi vrijeme potrebno da ispitanik pritisne jedno od dva dugmeta kako bi identificirao broj kao neparan ili paran. Rezultati su pokazali da je reakcija na nulu sporija nego za druge parne brojeve. Neke varijacije eksperimenta utvrdile su kašnjenja od čak šezdeset milisekundi, ili približno deset posto prosječnog vremena reakcije – što je mala razlika, ali statistički značajna.[54]

Dehaeneovi eksperimenti nisu bili osmišljeni isključivo za proučavanje nule, već i za upoređivanje konkurentskih modela za način na koji se informacije o parnosti obrađuju i izvlače. Najspecifičniji model, hipoteza o mentalnom računanju, sugerira da bi reakcije na nulu trebale biti brze; nula je mali broj, pa je lahko izračunati 0 × 2 = 0. (Poznato je da ispitanici izračunavaju i izgovaraju rezultat množenja s nulom brže nego rezultat množenja brojeva različitih od nule, iako su sporiji u provjeravanju predloženih rezultata poput 2 × 0 = 0.) Rezultati eksperimenata sugerirali su da se dešavalo nešto sasvim drugačije: informacija o parnosti navodno se pozivala iz memorije zajedno s grupom srodnih svojstava, kao što su svojstvo da broj bude prost broj ili stepen broja dva. I niz stepena broja dva, kao i niz pozitivnih parnih brojeva (dva, četiri, šest, osam, ...), jesu dobro izdvojene mentalne kategorije čiji su članovi prototipski parni. Nula ne pripada nijednom od tih nizova, što uzrokuje sporije odgovore.[55]

Ponovljeni eksperimenti pokazali su kašnjenje kod nule za ispitanike različitih uzrasta i nacionalnih te jezičkih pripadnosti, u susretu s imenima brojeva ispisanim slovima, ciframa i zrcalno odraženima. Dehaeneova grupa pronašla je jedan diferencirajući faktor: matematičku stručnost. U jednom od njihovih eksperimenata, studenti prestižne francuske ustanove (École Normale Supérieure) podijeljeni su u dvije grupe: one na književnim studijama, i one koji studiraju matematiku, fiziku ili biologiju. Usporavanje kod nule "uglavnom je nađeno u književnoj grupi", a zapravo, "prije eksperimenta, neki ispitanici iz te grupe nisu bili sigurni da li je nula neparna ili parna, pa ih je trebalo podsjetiti na matematičku definiciju".[56]

Ova snažna zavisnost o stepenu upoznatosti s gradivom iznova potkopava hipotezu o mentalnom računanju.[57] Ovaj efekat također sugeriše da nije prikladno uključivati nulu u eksperimente u kojima se parni i neparni brojevi posmatraju kao grupa u poređenju. Kao što kaže jedna studija: "Većina istraživača izgleda da se slaže u tome da nula nije tipičan paran broj i da je ne bi trebalo istraživati kao dio mentalne brojevne prave."[58]

Svakodnevni konteksti

[uredi | uredi izvor]

Neki od konteksta u kojima se spominje parnost nule čisto su retoričke prirode. Lingvist Joseph Grimes promišlja kako je pitanje "Je li nula paran broj?", postavljeno bračnim parovima, dobar način da ih se navede na to da se počnu neslagati.[59] Ljudi koji misle da nula nije ni parna ni neparna mogu koristiti pitanje parnosti nule kao dokaz da svako pravilo ima protuprimjer,[60] ili kao primjer trik-pitanja.[61]

Godine 2000. mediji su zabilježili par neobičnih prekretnica: "19. 11. 1999." bio je posljednji kalendarski datum sastavljen od svih neparnih cifara kakav se neće dogoditi još jako dugo vremena, a "2. 2. 2000." bio je prvi datum sastavljen od svih parnih cifara kakav se nije dogodio jako dugo vremena.[62] Budući da se u ovim rezultatima koriste činjenicom da je nula parna, neki su se čitaoci usprotivili toj ideji.[63]

U standardizovanim testovima, ako se pitanje odnosi na ponašanje parnih brojeva, možda je potrebno imati na umu da je nula parna.[64] Zvanične publikacije vezane za GMAT i GRE testove navode da je nula parna.[65]

Parnost nule relevantna je kod sistema za ograničenje potrošnje pomoću sistema parnih i neparnih brojeva ("par-nepar"), u kojem se automobilima može voziti ili se za njih može kupovati gorivo naizmjeničnim danima, u zavisnosti od toga kakva je parnost posljednje cifre njihovih registarskih oznaka. Polovina brojeva u datom rasponu završava na brojeve nula, dva, četiri, šest, osam, a druga polovina na brojeve jedan, tri, pet, sedam, devet, pa je logičan potez svrstati nulu sa ostalim parnim brojevima. Međutim, 1977. godine sistem na snazi u Parizu doveo je do konfuzije; na dan rezerviran samo za neparne brojeve, policija nije znala je li nula parna ili nije, pa su izbjegavali kažnjavati vozače čije su tablice završavale na nulu.[66] Da bi se izbjegla ovakva zbrka, relevantni zakoni ponekad preciziraju da je nula parna; takvi zakoni usvojeni su u Novom Južnom Velsu[67] i u saveznoj državi Maryland.[68]

Na brodovima američke ratne mornarice parno numerisani odjeljci nalaze se na lučkoj strani, ali nula je rezervisana za odjeljke koji presijecaju središnju os. Drugim riječima, brojevi se čitaju 6-4-2-0-1-3-5, i to slijeva (od lučke strane) udesno (prema sredini broda pa prema desnoj strani).[69]

U igri ​​ruleta, broj nula ne računa se kao paran ili neparan, što kasinu daje prednost na ovakvim opkladama.[70] Slično tome, parnost nule može utjecati na isplate u posebnim opkladama, u situacijama kada ishod zavisi od toga hoće li neki nasumično odabrani broj biti neparan ili paran, a ispostavi se da on bude nula.[71]

Igra s rukama pod nazivom "par ili nepar" također je podložna ovome: ako oba igrača pokažu nula prstiju, ukupan broj prstiju je nula, te tako pobjeđuje onaj igrač koji se opkladio na parno.[72] Jedan priručnik za nastavnike sugerira igranje ove igre kao dobar način za uvođenje djece u koncept da je nula djeljiva sa dva.[73]

Reference

[uredi | uredi izvor]
  1. 1 2 Arnold 1919 "Po istom testu nula nadmašuje sve brojeve u 'parnosti'."; Wong 1997 "Tako je cijeli broj b000⋯000 = 0 onaj koji je najviše 'paran'."
  2. ↑ Penner 1999: Lema B.2.2, Cijeli broj 0 je paran i nije neparan. Penner koristi matematički simbol ∃, egzistencijalni kvantifikator, da bi naveo dokaz: "Da bismo vidjeli da je 0 parna, moramo dokazati da ∃k (0 = 2k), a to slijedi iz jednakosti 0 = 2 × 0."
  3. ↑ Ball, Lewis i Thames (2008) raspravljaju o ovom izazovu za nastavnika u osnovnoj školi, koji želi dati matematičke razloge za matematičke činjenice, ali čiji učenici ne koriste istu definiciju niti bi je razumjeli da je uvedena.
  4. ↑ Uporediti sa Lichtenberg (1972) Slika 1
  5. ↑ Lichtenberg 1972 "...brojevi odgovaraju na pitanje 'Koliko?' za skup predmeta ... nula je brojčano svojstvo praznog skupa ... Ako se elementi svakog skupa podijele u grupe od po dva ... onda je broj tog skupa paran broj."
  6. ↑ Lichtenberg 1972 "Nula grupa od po dvije zvijezde je zaokružena. Nijedna zvijezda ne ostaje. Stoga je nula paran broj."
  7. 1 2 Dickerson i Pitman 2012.
  8. ↑ Lichtenberg 1972; uporediti njenu Sliku 3. "Ako se parni brojevi identificiraju na neki poseban način ... nema apsolutno nikakvog razloga da se izostavi nula iz obrasca."
  9. ↑ Lichtenberg 1972 "Na naprednijem nivou ... brojevi izraženi kao (2 × ▢) + 0 su parni brojevi ... nula se lijepo uklapa u ovaj obrazac."
  10. ↑ Caldwell i Xiong 2012.
  11. ↑ Gowers 2002 "Naizgled proizvoljno isključivanje broja jedan iz definicije prostog broja … ne izražava neku duboku činjenicu o brojevima: to se samo pokazalo kao korisna konvencija, usvojena da bi postojao samo jedan način faktorizacije bilo kojeg datog broja u proste brojeve." Za detaljniju diskusiju pogledajte Caldwell i Xiong (2012).
  12. 1 2 3 Partee 1978
  13. 1 2 Stewart 2001 Ova pravila su navedena, ali nisu citirana doslovno.
  14. ↑ Devlin 1985
  15. ↑ Penner 1999.
  16. 1 2 Berlinghoff, Grant i Skrien 2001 Za izolirane čvorove pogledajte str. 149; za grupe pogledajte str. 311.
  17. ↑ Lovász, Pelikán i Vesztergombi 2003
  18. ↑ Starr 1997
  19. ↑ Border 1985
  20. ↑ Lorentz 1994; Lovas i Pfenning 2008; Nipkow, Paulson i Wenzel 2002
  21. ↑ Bunch 1982
  22. ↑ Salzmann et al. 2007
  23. ↑ Wise 2002
  24. ↑ Anderson 2001; Hartsfield i Ringel 2003
  25. ↑ Dummit i Foote 1999
  26. ↑ Andrews 1990
  27. ↑ Tabachnikova i Smith 2000; Anderson i Feil 2005
  28. ↑ Barbeau 2003
  29. ↑ Wong 1997
  30. ↑ Gouvêa 1997 O općem prostom broju p: "Rezoniranje je ovdje da zasigurno možemo podijeliti 0 sa p, a odgovor je 0, što možemo podijeliti sa p, a odgovor je 0, što možemo podijeliti sa p…" (tri tačke u originalu)
  31. ↑ Krantz 2001
  32. ↑ Salzmann et al. 2007
  33. 1 2 Frobisher 1999
  34. ↑ Ovo je vremenski okvir u Sjedinjenim Američkim Državama, Kanadi, Velikoj Britaniji, Australiji i Izraelu; pogledajte Levenson, Tsamir i Tirosh (2007).
  35. ↑ Frobisher 1999
  36. ↑ Frobisher 1999; rezultati su iz ankete provedene sredinom ljetnog polugodišta 1992.
  37. ↑ Frobisher 1999 "Procenat djece u drugoj godini koja zaključuju da je nula paran broj mnogo je niži nego u prethodnoj studiji, 32 posto naspram 45 posto"
  38. ↑ Frobisher 1999 "Uspjeh u odlučivanju da je nula paran broj nije nastavio rasti s godinama, pri čemu je približno jedno od dvoje djece u svakoj godini od druge do šeste stavilo kvačicu u kvadratić za 'parno' ..."
  39. ↑ Frobisher 1999; ovi rezultati su iz studije iz februara 1999, koja je uključivala 481 dijete iz tri škole na različitim nivoima uspjeha.
  40. ↑ Frobisher 1999, pripisano "Jonathanu"
  41. ↑ Frobisher 1999, pripisano "Josephu"
  42. ↑ Frobisher 1999, pripisano "Richardu"
  43. ↑ Keith 2006 "Bilo je malo neslaganja oko ideje da je nula paran broj. Učenici su uvjerili onu manjinu koja nije bila sigurna sa dva argumenta. Prvi argument je bio da brojevi idu u obrascu ...neparan, paran, neparan, paran, neparan, paran... a pošto je dva parno, a jedan neparno, broj prije jedan, koji nije razlomak, bio bi nula. Tako bi nula morala biti parna. Drugi argument je bio da, ako osoba ima nula stvari i stavi ih u dvije jednake grupe, u svakoj grupi će biti nula. Dvije grupe bi imale istu količinu, nulu"
  44. ↑ Levenson, Tsamir i Tirosh 2007
  45. 1 2 Ball, Lewis i Thames 2008, Slika 1.5 "Matematičke tvrdnje o nuli."
  46. ↑ Ball, Lewis i Thames 2008.
  47. ↑ Levenson, Tsamir i Tirosh 2007; Dickerson i Pitman 2012
  48. ↑ Ball, Hill i Bass 2005
  49. ↑ Hill et al. 2008.
  50. ↑ Lichtenberg 1972
  51. ↑ Ball, Lewis i Thames 2008. Pogledajte i njeno uvodno predavanje za daljnju raspravu o odgovarajućim definicijama.
  52. ↑ Kao što je zaključeno u Levenson, Tsamir i Tirosh (2007), pozivajući se na Freudenthal (1983)
  53. ↑ Nuerk, Iversen i Willmes (2004): "Također se može vidjeti da se nula snažno razlikuje od svih ostalih brojeva, bez obzira na to reaguje li se na nju lijevom ili desnom rukom. (Pogledajte liniju koja razdvaja nulu od ostalih brojeva.)"
  54. ↑ Pogledati podatke u studiji Dehaene, Bossini i Giraux (1993), te sažetak u Nuerk, Iversen i Willmes (2004).
  55. ↑ Dehaene, Bossini i Giraux 1993
  56. ↑ Dehaene, Bossini i Giraux 1993
  57. ↑ Dehaene, Bossini i Giraux 1993 "U nekom intuitivnom smislu, pojam parnosti je poznat samo za brojeve veće od dva. Zaista, prije eksperimenta, neki ispitanici [koji su bili studenti književnosti] nisu bili sigurni je li nula neparna ili parna i morali su ih podsjetiti na matematičku definiciju. Dokazi, ukratko, sugeriraju da, umjesto da se izračunava u hodu korištenjem kriterija djeljivosti sa dva, informacija o parnosti izvlači se iz memorije zajedno sa nizom drugih semantičkih svojstava ... Ako se u procjenama parnosti pristupa semantičkoj memoriji, onda bi se trebale pronaći interindividualne razlike ovisno o poznavanju koncepata brojeva od strane ispitanika."
  58. ↑ Nuerk, Iversen i Willmes 2004
  59. ↑ Grimes 1975 "...neko može postaviti sljedeća pitanja bračnim parovima s kojima se poznaje: (1) Je li nula paran broj? ... Mnogi parovi se ne slažu..."
  60. ↑ Wilden i Hammer 1987
  61. ↑ Snow 2001; Morgan 2001
  62. ↑ Steinberg 1999; Siegel 1999; Stingl 2006
  63. ↑ Sones i Sones 2002 "Slijedi da je nula parna, i da 2. 2. 2000. savršeno rješava zagonetku. Ipak, uvijek iznenađuje koliko je ljudima neobično nazivati nulu parnom..."; Čitaoci Kolumne 8 2006a "'...prema matematičarima, broj nula, zajedno s negativnim brojevima i razlomcima, nije ni paran ni neparan,' piše Etan..."; Čitaoci Kolumne 8 2006b "'Slažem se da je nula parna, ali je li profesor Bunder mudar kada to 'dokazuje' tvrdeći da je 0 = 2 × 0? Tom logikom (i to od doktora matematičke logike, ni manje ni više), pošto je 0 = 1 × 0, ona je također i neparna!' Profesor će ovo osporiti, i, logično, on ima čvrstu osnovu za to, ali bismo mogli ovu temu uskoro i iscrpiti..."
  64. ↑ Osoblje Kaplana 2004
  65. ↑ Graduate Management Admission Council 2005; Educational Testing Service 2009
  66. ↑ Arsham 2002; Citat se pripisuje emisiji heute od 1. oktobra 1977. Arshamov izvještaj ponavlja Crumpacker (2007).
  67. ↑ Sones i Sones 2002 "Matematičar George Andrews sa univerziteta Penn State, koji se prisjeća vremena restrikcije goriva u Australiji ... Tada je neko u parlamentu Novog Južnog Velsa ustvrdio da to znači da registarske tablice koje se završavaju na nulu nikada neće dobiti gorivo, jer 'nula nije ni neparna ni parna.' Tako je parlament Novog Južnog Velsa odlučio da je za svrhu restrikcija potrošnje goriva nula zapravo paran broj!'"
  68. ↑ Zakon države Maryland iz 1980. godine precizira: "(a) Na parne datume u kalendaru gorivo mogu kupovati samo operateri vozila koja imaju personalizirane registarske tablice bez ikakvih brojeva, te tablice čija posljednja cifra završava na paran broj. Ovo isključuje tablice operatera amaterskog radija. Nula je paran broj; (b) Na neparne datume u kalendaru ..." Djelimičan citat preuzet iz Odjel za zakonske reference (1974), Zakoni države Maryland, tom 2, pristupljeno 2. juni 2013
  69. ↑ Cutler 2008
  70. ↑ Brisman 2004
  71. ↑ Smock 2006; Hohmann 2007; Turner 1996
  72. ↑ Diagram Group 1983
  73. ↑ Baroody i Coslick 1998

Literatura

[uredi | uredi izvor]

Dodatna literatura

[uredi | uredi izvor]

Vanjski linkovi

[uredi | uredi izvor]
Preuzeto iz "https://bs.wikipedia.org/w/index.php?title=Parnost_nule&oldid=3891175"