Plastičnost
| Mehanika kontinuuma | |
|---|---|
| | |
U fizici i nauci o materijalima, plastičnost (također poznata kao plastična deformacija) je sposobnost čvrstog materijala da podliježtrajnoj deformaciji, nepovratnoj promjeni oblika kao odgovor na primijenjene sile.[1][2] Naprimjer, čvrsti komad metala koji se savija ili kuje u novi oblik pokazuje plastičnost jer se trajne promjene događaju unutar samog materijala. U inženjerstvu, prelazak iz elastičnog ponašanja u plastično ponašanje poznat je kao popuštanje (inženjerstvo).
Plastična deformacija se opaža kod većine materijala, posebno kod metala, tla, stijena, betona i pjene.[3][4][5][6] Međutim, fizički mehanizmi koji uzrokuju plastičnu deformaciju mogu se uveliko razlikovati. Na kristalnoj skali, plastičnost u metalima je obično posljedica dislokacija. Takvi defekti su relativno rijetki u većini kristalnih materijala, ali su brojni u nekima i dijelu njihove kristalne strukture; u takvim slučajevima može doći do plastične kristalnosti. U krhkim materijalima kao što su stijena, beton i kost, plastičnost je pretežno uzrokovana klizanjem na mikropukotinama. U ćelijskim materijalima kao što su tečne pjene ili biološka tkiva, plastičnost je uglavnom posljedica preuređenja mjehurića ili ćelija, posebno T1 procesa.
Za mnoge duktilne metale, zatezno opterećenje primijenjeno na uzorak uzrokovat će da se ponaša elastično. Svako povećanje opterećenja prati proporcionalno povećanje istezanja. Kada se opterećenje ukloni, komad se vraća na svoju prvobitnu veličinu. Međutim, kada opterećenje pređe određeni prag – granica popuštanja – istezanje se povećava brže nego u elastičnom području; sada kada se opterećenje ukloni, određeni stepen istezanja će ostati.
Elastična deformacija, međutim, je aproksimacija i njen kvalitet zavisi od razmatranog vremenskog okvira i brzine opterećenja. Ako, kao što je prikazano na grafikonu nasuprot, deformacija uključuje elastičnu deformaciju, često se naziva i "elastoplastična deformacija" ili "elastoplastična deformacija".
Savršena plastičnost je svojstvo materijala da se podvrgnu nepovratnoj deformaciji bez ikakvog povećanja napona ili opterećenja. Plastični materijali koji su očvrsnuti prethodnom deformacijom, kao što je hladno oblikovanje, mogu zahtijevati sve veće napone da bi se dalje deformirali. Općenito, plastična deformacija također ovisi o brzini deformacije, tj. obično se moraju primijeniti veći naponi da bi se povećala brzina deformacije. Za takve materijale se kaže da se deformiraju viskoplastično.
Doprinoseća svojstva
[uredi | uredi izvor]Plastičnost materijala je direktno proporcionalna duktilnosti i savitljivosti materijala.
Fizički mehanizmi
[uredi | uredi izvor]
U metalima
[uredi | uredi izvor]Plastičnost u kristalu čistog metala prvenstveno je uzrokovana dvama načinima deformacije u kristalnoj rešetki: klizanjem i blizanjstvom. Klizanje je deformacija smicanja koja pomiče atome kroz mnoge međuatomske udaljenosti u odnosu na njihove početne položaje. Blizanjstvo je plastična deformacija koja se odvija duž dvije ravni zbog skupa sila primijenjenih na dati metalni komad.
Većina metala pokazuje veću plastičnost kada su vrući nego kada su hladni. Olovo pokazuje dovoljnu plastičnost na sobnoj temperaturi, dok liveno gvožđe nema dovoljnu plastičnost za bilo koju operaciju kovanja čak ni kada je vruće. Ovo svojstvo je važno kod operacija oblikovanja, oblikovanja i ekstruzije metala. Većina metala postaje plastična zagrijavanjem i stoga se oblikuje vruće.
Sistemi klizanja
[uredi | uredi izvor]Kristalni materijali sadrže uniformne ravni atoma organizovanih sa dugodometnim redom. Ravni mogu kliziti jedna pored druge duž svojih gusto zbijenih pravaca, kao što je prikazano na stranici o sistemima klizanja. Rezultat je trajna promjena oblika unutar kristala i plastična deformacija. Prisustvo dislokacija povećava vjerovatnoću ravni.
Reverzibilna plastičnost
[uredi | uredi izvor]Na nanoskali, primarna plastična deformacija u jednostavnim plošno centriranim kubnim metalima je reverzibilna, sve dok nema transporta materijala u obliku unakrsnog klizanja.[7] Legure s memorijom oblika, poput Nitinol žice, također pokazuju reverzibilni oblik plastičnosti koji se pravilnije naziva pseudoelastičnost.
Smična traka
[uredi | uredi izvor]Prisustvo drugih defekata unutar kristala može zaplesti dislokacije ili na drugi način spriječiti njihovo klizanje. Kada se to dogodi, plastičnost je lokalizirana na određena područja u materijalu. Kod kristala, ova područja lokalizirane plastičnosti nazivaju se smična traka.
Mikroplastičnost
[uredi | uredi izvor]Mikroplastičnost je lokalni fenomen u metalima. Javlja se za vrijednosti naprezanja gdje se metal globalno nalazi u domenu elastičnosti, dok su neka lokalna područja u plastičnom domenu.[8]
Amorfni materijali
[uredi | uredi izvor]Pukotine
[uredi | uredi izvor]Kod amorfnih materijala, rasprava o "dislokacijama" nije primjenjiva, jer cijelom materijalu nedostaje dugodometni red. Ovi materijali i dalje mogu proći kroz plastičnu deformaciju. Budući da amorfni materijali, poput polimera, nisu dobro uređeni, oni sadrže veliku količinu slobodnog volumena ili izgubljenog prostora. Zatezanje ovih materijala otvara ova područja i može dati materijalima mutan izgled. Ova mutnoća je rezultat pukotina, gdje se fibrile formiraju unutar materijala u područjima visokog hidrostatičkog napona. Materijal može prijeći iz uređenog izgleda u "ludi" uzorak naprezanja i istezanja.
Ćelijski materijali
[uredi | uredi izvor]Ovi materijali se plastično deformiraju kada moment savijanja premaši potpuno plastični moment. Ovo se odnosi na pjene otvorenih ćelija gdje moment savijanja djeluje na ćelijske zidove. Pjene mogu biti napravljene od bilo kojeg materijala s plastičnom granicom tečenja, što uključuje krute polimere i metale. Ovaj metod modeliranja pjene kao greda je validna samo ako je odnos gustoće pjene i gustoće materije manji od 0,3. To je zato što se grede aksijalno popuštaju umjesto da se savijaju. Kod pjena zatvorenih ćelija, granica popuštanja se povećava ako je materijal pod napetošću zbog membrane koja premošćava površinu ćelija.
Tla i pijesak
[uredi | uredi izvor]Tla, posebno gline, pokazuju značajnu količinu neelastičnosti pod opterećenjem. Uzroci plastičnosti u tlima mogu biti prilično složeni i snažno zavise od mikrostrukture, hemijskog sastava i sadržaja vode. Plastično ponašanje u tlima prvenstveno je uzrokovano preuređenjem klastera susjednih zrna.
Stijene i beton
[uredi | uredi izvor]Neelastične deformacije stijena i betona prvenstveno su uzrokovane stvaranjem mikropukotina i kliznim pokretima u odnosu na te pukotine. Na visokim temperaturama i pritiscima, plastično ponašanje može biti pod uticajem i kretanja dislokacija u pojedinačnim zrnima u mikrostrukturi.
Vremenski neovisno popuštanje i plastični tok u kristalnim materijalima
[uredi | uredi izvor]Vremenski nezavisni plastični tok, kako u monokristalima tako i u polikristalima, definisan je kritičnim/maksimalno razlučenim naponom smicanja (τCRSS), iniciranje migracije dislokacija duž paralelnih ravni klizanja sistema s jednim klizanjem, čime se definira prijelaz iz elastičnog u plastično deformacijsko ponašanje u kristalnim materijalima.
Vremenski neovisno popuštanje i plastični tok u monokristalima
[uredi | uredi izvor]Kritični razriješeni napon smicanja za monokristale definiran je Schmidovim zakonom τCRSS=σy/m, where σy je granica tečenja monokristala, a m je Schmidov faktor. Schmidov faktor se sastoji od dvije varijable λ i φ, koje definiraju ugao između smjera ravni klizanja i primijenjene zatezne sile, te ugao između normale ravni klizanja i primijenjene zatezne sile. Važno je napomenuti da, jer m > 1, σy > τCRSS.
Kritična zavisnost riješenog napona smicanja od temperature, brzine deformacije i tačkastih defekata
[uredi | uredi izvor]
Postoje tri karakteristična područja kritičnog razriješenog napona smicanja kao funkcije temperature. U području niskih temperatura 1 (T ≤ 0,25Tm), brzina deformacije mora biti visoka da bi se postigla visoka τCRSS što je potrebno za pokretanje klizanja dislokacija i ekvivalentnog plastičnog toka. U području 1, kritični razriješeni napon smicanja ima dvije komponente: atermalni (τa) i termalni (τ*) napon smicanja, koji proizlaze iz napona potrebnog za pomicanje dislokacija u prisustvu drugih dislokacija, te otpora prepreka tačkastih defekata migraciji dislokacija. U T = T*, umjereno temperaturno područje 2 (0,25Tm < T < 0.7Tm) je definirano, gdje je komponenta termičkog napona smicanja τ* → 0, što predstavlja eliminaciju impedancije tačkastog defekta za migraciju dislokacija. Stoga je kritično razriješeno naprezanje smicanja neovisno o temperaturi τCRSS = τa ostaje tako sve dok se ne definira područje 3. Važno je napomenuti da u području 2 treba uzeti u obzir mehanizme umjerene temperature vremenski zavisna plastična deformacija (puzanje), kao što je povlačenje rastvorene materije. Nadalje, u području visoke temperature 3 (T ≥ 0.7Tm) έ može biti nizak, doprinoseći niskom τCRSS, međutim, plastični tok će se i dalje javljati zbog termički aktiviranih vremenski zavisnih mehanizama plastične deformacije na visokim temperaturama, kao što su Nabarro-Herringov (NH) i Cobleov difuzijski tok kroz rešetku i duž površina monokristala, respektivno, kao i puzanje dislokacija penjanjem i klizanjem.
Faze vremenski nezavisnog plastičnog toka, nakon tečenja
[uredi | uredi izvor]
Tokom faze lakog klizanja 1, brzina očvršćavanja, definirana promjenom napona smicanja u odnosu na napon smicanja (dτ/dγ), je niska, što predstavlja malu količinu primijenjenog napona smicanja potrebnog za izazivanje velike količine napona smicanja. Lako klizanje dislokacija i odgovarajući tok pripisuju se migraciji dislokacija samo duž paralelnih ravni klizanja (tj. jedan sistem klizanja). Umjerena impedancija migracije dislokacija duž paralelnih ravni klizanja pokazuje se u skladu sa slabim interakcijama polja napona između ovih dislokacija, koja se povećava s manjim međuravninskim razmakom. Sveukupno, ove migrirajuće dislokacije unutar jednog sistema klizanja djeluju kao slabe prepreke toku, a uočava se umjeren porast napona u poređenju s naponom tečenja. Tokom faze linearnog očvršćavanja 2 toka, brzina očvršćavanja postaje visoka jer je potreban značajan napon da bi se savladale interakcije polja napona dislokacija koje migriraju na neparalelnim ravnima klizanja (tj. višestruki sistemi klizanja), djelujući kao jake prepreke toku. Potrebno je mnogo napona da bi se pokrenula kontinuirana migracija dislokacija za male napone. Napon smicanja pri tečenju je direktno proporcionalan kvadratnom korijenu gustoće dislokacija (τflow ~ρ½), bez obzira na evoluciju konfiguracija dislokacija, što pokazuje zavisnost očvršćavanja od broja prisutnih dislokacija. Što se tiče ove evolucije konfiguracija dislokacija, pri malim naprezanjima raspored dislokacija je slučajni 3D niz linija koje se sijeku. Umjerena naprezanja odgovaraju ćelijskim strukturama dislokacija heterogene distribucije dislokacija s velikom gustoćom dislokacija na granicama ćelija i malom gustoćom dislokacija unutar unutrašnjosti ćelije. Pri još većim naprezanjima, ćelijska struktura dislokacija se smanjuje u veličini dok se ne postigne minimalna veličina. Konačno, brzina očvršćavanja ponovo postaje niska u fazi iscrpljivanja/zasićenja očvršćavanja 3 plastičnog tečenja, jer mala naprezanja smicanja proizvode velika naprezanja smicanja. Posebno je važno napomenuti da u slučajevima kada su višestruki klizni sistemi povoljno orijentisani u odnosu na primijenjeni napon, τCRSS za ove sisteme može biti sličan i može doći do popuštanja u skladu s migracijom dislokacija duž višestrukih kliznih sistema s neparalelnim ravnima klizanja, pokazujući brzinu očvršćavanja u fazi 1, što je tipično karakteristično za fazu 2. Konačno, razlika između vremenski nezavisne plastične deformacije kod tjelesno centriranih kubnih prelaznih metala i površinski centriranih kubnih metala sažeta je u nastavku.]]
| Tjelesno centrirani kubni prelazni metali | Pločasto centrirani kubni metali |
|---|---|
| Kritični riješeni napon smicanja = visok (relativno) i snažno zavisan od temperature | Kritični riješeni napon smicanja = nizak (relativno) i slabo zavisan od temperature |
| Brzina očvršćavanja = nezavisna od temperature | Brzina očvršćavanja = zavisna od temperature |
| Napon suženja raste s temperaturom | Napon suženja se smanjuje s temperaturom |
Vremenski nezavisno popuštanje i plastični tok u polikristalima
[uredi | uredi izvor]Plastičnost u polikristalima se značajno razlikuje od one u monokristalima zbog prisustva planarnih defekata na granicama zrna (GB), koji djeluju kao vrlo jake prepreke plastičnom toku ometajući migraciju dislokacija duž cijele dužine aktivirane ravni klizanja. Stoga, dislokacije ne mogu prelaziti iz jednog zrna u drugo preko granice zrna. Sljedeći odjeljci istražuju specifične GB zahtjeve za opsežnu plastičnu deformaciju polikristala prije loma, kao i utjecaj mikroskopskog popuštanja unutar pojedinačnih kristalita na makroskopsko popuštanje polikristala. Kritični razriješeni napon smicanja za polikristale također je definiran Schmidovim zakonom (τCRSS=σy/ṁ), gdje je σy granica popuštanja polikristala, a ṁ je ponderirani Schmidov faktor. Ponderirani Schmidov faktor odražava najmanje povoljno orijentirani sistem klizanja među najpovoljnije orijentiranim sistemima klizanja zrna koja čine GB.
Ograničenje granica zrna u polikristalima
[uredi | uredi izvor]GB ograničenje za polikristale može se objasniti razmatranjem granice zrna u xz ravni između dva monokristala A i B identičnog sastava, strukture i sistema klizanja, ali pogrešno orijentisana jedan u odnosu na drugi. Da bi se osiguralo da se ne formiraju praznine između pojedinačno deformirajućih zrna, GB ograničenje za bikristal je sljedeće: εxxA = εxxB (the x-axial strain at the GB must be equivalent for A and B), εzzA = εzzB (z-aksijalna deformacija na GB mora biti ekvivalentna za A i B), and εxzA = εxzB (xz smicajuća deformacija duž xz-GB ravni mora biti ekvivalentna za A i B). Pored toga, ovo GB ograničenje zahtijeva da se aktivira pet nezavisnih sistema klizanja po kristalitu koji čini GB. Važno je napomenuti da, budući da su nezavisni sistemi klizanja definirani kao ravni klizanja na kojima se migracije dislokacija ne mogu reproducirati bilo kojom kombinacijom migracija dislokacija duž ravni drugih sistema klizanja, broj geometrijskih sistema klizanja za dati kristalni sistem - koji se po definiciji može konstruirati kombinacijama sistema klizanja - obično je veći od broja nezavisnih sistema klizanja. Značajno je da postoji maksimalno pet nezavisnih sistema klizanja za svaki od sedam kristalnih sistema, međutim, ne postižu svi sedam kristalnih sistema ovu gornju granicu. U stvari, čak i unutar datog kristalnog sistema, sastav i Bravaisova rešetka diverzificiraju broj nezavisnih sistema klizanja (vidi donju tabelu). U slučajevima kada kristaliti polikristala ne dobiju pet nezavisnih sistema klizanja, GB uslov se ne može ispuniti, te stoga vremenski nezavisna deformacija pojedinačnih kristalita rezultira pukotinama i šupljinama na GB-ovima polikristala, i ubrzo dolazi do loma. Dakle, za dati sastav i strukturu, monokristal sa manje od pet nezavisnih sistema klizanja je jači (pokazuje veći stepen plastičnosti) od svog polikristalnog oblika.
| Bravaisova rešetka | Klasa primarnog materijala: Nezavisni klizni sistemi |
|---|---|
| Kubični centrirani po površini | Metal: 5, keramika (kovalentna): 5, keramika (ionska): 2 |
| Kubni centrirani po tijelu | Metal: 5 |
| Jednostavni kubni | Keramika (ionska): 3 |
| Heksagonalni | Metal: 2, keramika (mješovita): 2 |
Implikacije ograničenja granica zrna u polikristalima
[uredi | uredi izvor]Iako dva kristalita A i B o kojima se raspravljalo u gornjem odjeljku imaju identične sisteme klizanja, oni su pogrešno orijentirani jedan u odnosu na drugi, a time i pogrešno orijentirani u odnosu na primijenjenu silu. Stoga, mikroskopsko popuštanje unutar unutrašnjosti kristalita može se dogoditi u skladu s pravilima koja regulišu vremenski nezavisno popuštanje monokristala. Na kraju, aktivirane ravni klizanja unutar unutrašnjosti zrna će omogućiti migraciju dislokacija u GB gdje se mnoge dislokacije zatim gomilaju kao geometrijski neophodne dislokacije. Ovo gomilanje odgovara gradijentima napona preko pojedinačnih zrna jer je gustina dislokacija u blizini GB veća od one u unutrašnjosti zrna, namećući napon na susjedno zrno u kontaktu. Kada se AB bikristal razmatra kao cjelina, najpovoljnije orijentisan sistem klizanja u A neće biti onaj u B, te je stoga τACRSS ≠ τBCRSS. Najvažnija je činjenica da se makroskopsko tečenje bikristala produžava sve dok se ne postigne veća vrijednost τCRSS između zrna A i B, u skladu s GB ograničenjem. Dakle, za dati sastav i strukturu, polikristal s pet nezavisnih sistema klizanja je jači (veći stepen plastičnosti) od svog monokristalnog oblika. Shodno tome, brzina očvršćavanja bit će veća za polikristal nego za monokristal, jer je u polikristalu potrebno više naprezanja za stvaranje deformacija. Važno je da, baš kao i kod naprezanja tečenja monokristala, τflow ~ρ½, ali je također obrnuto proporcionalan kvadratnom korijenu prosječnog promjera zrna (τflow ~d-½). Stoga se naprezanje tečenja polikristala, a time i čvrstoća polikristala, povećava s malom veličinom zrna. Razlog za to je što manja zrna imaju relativno manji broj kliznih ravni koje treba aktivirati, što odgovara manjem broju dislokacija koje migriraju prema GB, a samim tim i manjem naprezanju izazvanom na susjednim zrnima zbog nagomilavanja dislokacija. Osim toga, za dati volumen polikristala, manja zrna predstavljaju jače granice zrna prepreka. Ova dva faktora pružaju razumijevanje zašto se početak makroskopskog toka u sitnozrnatim polikristalima javlja pri većim primijenjenim naprezanjima nego u grubozrnatim polikristalima.
Matematički opisi
[uredi | uredi izvor]Teorija deformacije
[uredi | uredi izvor]
Postoji nekoliko matematičkih opisa plastičnosti.[12]
Ako napon premaši kritičnu vrijednost, kao što je gore spomenuto, materijal će pretrpjeti plastičnu, odnosno nepovratnu, deformaciju. Ovaj kritični napon može biti zatezni ili tlačni. Tresca i von Misesovkriteriji se obično koriste za utvrđivanje da li je materijal popustio. Međutim, ovi kriteriji su se pokazali neadekvatnim za veliki raspon materijala, a nekoliko drugih kriterija prinosa je također u širokoj upotrebi.
Tresca kriterij
[uredi | uredi izvor]Tresca kriterij se zasniva na ideji da kada materijal pukne, to se dešava na smicanje, što je relativno dobra pretpostavka kada se razmatraju metali. S obzirom na glavno stanje napona, možemo koristiti Mohrov krug da riješimo maksimalne napone smicanja koje će naš materijal doživjeti i zaključimo da će materijal pući ako:
gdje σ1 je maksimalni normalni napon, σ3 je minimalni normalni napon, a σ0 je napon pod kojim materijal pukne pri jednoosnom opterećenju. Može se konstruirati površina popuštanja, koja pruža vizualni prikaz ovog koncepta. Unutar površine popuštanja, deformacija je elastična. Na površini, deformacija je plastična. Nemoguće je da materijal ima stanja napona izvan svoje površine popuštanja.
Huber-von Misesov kriterij
[uredi | uredi izvor]
Huber-von Misesov kriterij[13] zasniva se na Trescinom kriteriju, ali uzima u obzir pretpostavku da hidrostatička naprezanja ne doprinose lomu materijala. M. T. Huber je bio prvi koji je predložio kriterij energije smicanja.[14][15] Von Mises rješava problem efektivnog napona pri jednoosnom opterećenju, oduzimajući hidrostatičke napone, i navodi da će svi efektivni naponi veći od onog koji uzrokuje lom materijala pri jednoosnom opterećenju rezultirati plastičnom deformacijom.
![{\displaystyle \sigma _{v}^{2}={\tfrac {1}{2}}[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+(\sigma _{11}-\sigma _{33})^{2}+6(\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}+\sigma _{12}^{2})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/918b083c9c0c4f9cb190d778ecfdc3fd9eb6e4f9)
Vizuelni prikaz površine tečenja može se ponovo konstruisati korištenjem gornje jednačine, koja ima oblik elipse. Unutar površine, materijali podležu elastičnoj deformaciji. Dosezanje površine znači da materijal podleže plastičnim deformacijama.
Također pogledajte
[uredi | uredi izvor]Reference
[uredi | uredi izvor]- ↑ Lubliner, Jacob (2008). Plasticity theory. Dover. ISBN 978-0-486-46290-5.
- ↑ Bigoni, Davide (2012). Nonlinear Solid Mechanics: Bifurcation Theory and Material Instability. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02541-7.
- ↑ Jirásek, Milan; Bažant, Zdeněk P. (2002). Inelastic analysis of structures. John Wiley and Sons. ISBN 0-471-98716-6.
- ↑ Chen, Wai-Fah (2008). Limit Analysis and Soil Plasticity. J. Ross Publishing. ISBN 978-1-932159-73-8.
- ↑ Yu, Mao-Hong; Ma, Guo-Wei; Qiang, Hong-Fu; Zhang, Yong-Qiang (2006). Generalized Plasticity. Springer. ISBN 3-540-25127-8.
- ↑ Chen, Wai-Fah (2007). Plasticity in Reinforced Concrete. J. Ross Publishing. ISBN 978-1-932159-74-5.
- ↑ Ziegenhain, Gerolf; and Urbassek, Herbert M.; "Reversible Plasticity in fcc metals" in Philosophical Magazine Letters, 89(11):717-723, 2009 DOI 10.1080/09500830903272900
- ↑ Maaß, Robert; Derlet, Peter M. (januar 2018). "Micro-plasticity and recent insights from intermittent and small-scale plasticity". Acta Materialia. 143: 338–363. arXiv:1704.07297. Bibcode:2018AcMat.143..338M. doi:10.1016/j.actamat.2017.06.023. S2CID 119387816.
- ↑ Courtney, Thomas (2005). Mechanical Behavior of Materials (Second izd.). Long Grove, Illinois: Waveland Press, Inc. ISBN 978-1-57766-425-3.
- ↑ Partridge, Peter (1969). Deformation and Fatigue of Hexagonal Close Packed Metals. University of Surrey.
- ↑ Groves, Geoffrey W.; Kelly, Anthony (1963). "Independent Slip Systems in Crystals". Philosophical Magazine. 8 (89): 877–887. Bibcode:1963PMag....8..877G. doi:10.1080/14786436308213843.
- ↑ Hill, Rodney (1998). The Mathematical Theory of Plasticity. Oxford University Press. ISBN 0-19-850367-9.
- ↑ von Mises, Richard (1913). "Mechanik der festen Körper im plastisch-deformablen Zustand". Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Mathematisch-Physikalische Klasse. 1913 (1): 582–592.
- ↑ Huber, Maksymilian Tytus (1904). "Właściwa praca odkształcenia jako miara wytezenia materiału". Czasopismo Techniczne. Lwów. 22. Translated as "Specific Work of Strain as a Measure of Material Effort". Archives of Mechanics. 56: 173–190. 2004.
- ↑ See Timoshenko, Stephen P. (1953). History of Strength of Materials. New York: McGraw-Hill. str. 369. ISBN 9780486611877.
Dodatna literatura
[uredi | uredi izvor]- Ashby, Michael F. (2001). "Plastic Deformation of Cellular Materials". Encyclopedia of Materials: Science and Technology. 7. Oxford: Elsevier. str. 7068–7071. ISBN 0-08-043152-6.
- Han, Weimin; Reddy, B. Daya (2013). Plasticity: Mathematical Theory and Numerical Analysis (2nd izd.). New York: Springer. ISBN 978-1-4614-5939-2.
- Kachanov, Lazar' Markovich (2004). Fundamentals of the Theory of Plasticity. Dover Books. ISBN 0-486-43583-0.
- Khan, Akhtar S.; Huang, Sujian (1995). Continuum Theory of Plasticity. Wiley. ISBN 0-471-31043-3.
- Simo, Juan C.; Hughes, Thomas J. R. (1998). Computational Inelasticity. Springer. ISBN 0-387-97520-9.
- Van Vliet, Krystyn J. (2006). "Mechanical Behavior of Materials". MIT Course Number 3.032. Massachusetts Institute of Technology.
