Razlika između verzija stranice "Prsten (matematika)"
[nepregledana izmjena] | [nepregledana izmjena] |
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
No edit summary |
m robot Mijenja: et:Ring (algebra), sl:Kolobar (algebra) |
||
Red 50: | Red 50: | ||
[[da:Ring (matematik)]] |
[[da:Ring (matematik)]] |
||
[[de:Ringtheorie]] |
[[de:Ringtheorie]] |
||
[[et:Assotsiatiivne ring]] |
|||
[[el:Δακτύλιος (άλγεβρα)]] |
[[el:Δακτύλιος (άλγεβρα)]] |
||
[[en:Ring (mathematics)]] |
[[en:Ring (mathematics)]] |
||
[[eo:Ringo (algebro)]] |
[[eo:Ringo (algebro)]] |
||
[[es:Anillo (matemática)]] |
[[es:Anillo (matemática)]] |
||
[[et:Ring (algebra)]] |
|||
[[fa:حلقه (ریاضی)]] |
[[fa:حلقه (ریاضی)]] |
||
[[fi:Rengas]] |
[[fi:Rengas]] |
||
Red 76: | Red 76: | ||
[[simple:Ring (mathematics)]] |
[[simple:Ring (mathematics)]] |
||
[[sk:Okruh (algebra)]] |
[[sk:Okruh (algebra)]] |
||
[[sl:Kolobar]] |
[[sl:Kolobar (algebra)]] |
||
[[sr:Прстен (математика)]] |
[[sr:Прстен (математика)]] |
||
[[sv:Ring (matematik)]] |
[[sv:Ring (matematik)]] |
Verzija na dan 8 april 2010 u 10:10
U matematici, prsten je bilo koji neprazan skup R zajedno s dvije binarne operacije + (sabiranje elemenata prstena) i · (množenje elemenata prstena), tako da vrijedi:
- (R, +) je abelova grupa, tj. ∀ a, b, c ∈ R vrijedi:
- asocijativnost sabiranja:
- (a + b) + c = a + (b + c)
- neutralni element za sabiranje
- (∃ 0)(0 ∈ R) takav da je a + 0 = 0 + a = a
- ∀ a∈R ∃ suprotni element -a∈R takav da je
- a + (-a) = (-a) + a = 0
- komutativnost sabiranja
- a + b = b + a
- (R, ·) je polugrupa, tj. množenje na R je asocijativno
- (ab)c = a(bc)
- operacije sabiranja i množenja su međusobno usklađene zakonima distribucije:
- ∀ a, b, c ∈ R vrijedi :
- a(b + c)= ab + ac i (a + b)c = ac + bc
Primjeri
- Trivijalni prsten {0} ima samo jedan element koji je neutralni element i za sabiranje i za množenje
- Prsten cijelih brojeva s operacijama sabiranja i množenja. To je komutativan prsten
- Racionalni, realni i kompleksni brojevi tvore prstene (štoviše, oni su i polja).
- Gaussovi cijeli brojevi tvore prsten.
- Prsten polinoma R[X] s koeficijentima iz prstena R je također prsten.
- Primjer nekomutativnog prstena: Za bilo koji prsten R i proizvoljan prirodan broj n, skup svih kvadratnih n×n matrica s koeficijentima iz R, tvori prsten s operacijama sabiranja i množenja matrica kao pripadnim operacijama. Za n = 1, ovaj prsten matrica je (izomorfan s) R. Za n≥2, ovaj prsten matrica je primjer nekomutativnog prstena (osim ako je R trivijalan prsten).
- Primjer konačnog prstena: Ako je n pozitivan cijeli broj, onda skup cijelih brojeva modulo n (koji je kao aditivna grupa ciklička grupa reda n) tvori prsten s n elemenata.
Osnovni teoremi
Iz aksioma se izravno može zaključiti da ako je prsten, imamo:
- , pod uvjetom da su i a i b invertibilni.
Ostali osnovni teoremi:
- Neutralni element 1 je jedinstven
- Ako element prstena ima inverz za množenje, onda je taj inverz jedinstven.
- Ako prsten ima barem dva elementa, onda je 0 ≠ 1