Prsten (matematika)

U matematici, prsten je bilo koji neprazan skup R zajedno s dvije binarne operacije + (sabiranje elemenata prstena) i · (množenje elemenata prstena), tako da vrijedi:

1. (R, +) je abelova grupa, tj. ∀ a, b, c ∈ R vrijedi:

• asocijativnost sabiranja:

(a + b) + c = a + (b + c)

• neutralni element za sabiranje

(∃ 0)(0 ∈ R) takav da je a + 0 = 0 + a = a

• ∀ a∈R ∃ suprotni element -a∈R takav da je

a + (-a) = (-a) + a = 0

• komutativnost sabiranja

a + b = b + a

1. (R, ·) je polugrupa, tj. množenje na R je asocijativno

(ab)c = a(bc)

1. operacije sabiranja i množenja su međusobno usklađene zakonima distribucije:

∀ a, b, c ∈ R vrijedi :

a(b + c)= ab + ac i (a + b)c = ac + bc

Primjeri

• Trivijalni prsten {0} ima samo jedan element koji je neutralni element i za sabiranje i za množenje
• Prsten cijelih brojeva s operacijama sabiranja i množenja. To je komutativan prsten
  • Racionalni, realni i kompleksni brojevi tvore prstene (štoviše, oni su i polja).
• Gaussovi cijeli brojevi tvore prsten.
• Prsten polinoma R[X] s koeficijentima iz prstena R je također prsten.
• Primjer nekomutativnog prstena: Za bilo koji prsten R i proizvoljan prirodan broj n, skup svih kvadratnih n×n matrica s koeficijentima iz R, tvori prsten s operacijama sabiranja i množenja matrica kao pripadnim operacijama. Za n = 1, ovaj prsten matrica je (izomorfan s) R. Za n≥2, ovaj prsten matrica je primjer nekomutativnog prstena (osim ako je R trivijalan prsten).
• Primjer konačnog prstena: Ako je n pozitivan cijeli broj, onda skup $\mathbb {Z} _{n}=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ cijelih brojeva modulo n (koji je kao aditivna grupa ciklička grupa reda n) tvori prsten s n elemenata.

Osnovni teoremi

Iz aksioma se izravno može zaključiti da ako je $R$ prsten, $\forall a,b\in R$ imamo:

• $0\cdot a=a\cdot 0=0$
• $(-1)\cdot a=-a$
• $(-a)\cdot b=a\cdot (-b)$
• $(a\cdot b)^{-1}=b^{-1}\cdot a^{-1}$, pod uvjetom da su i a i b invertibilni.

Ostali osnovni teoremi:

• Neutralni element 1 je jedinstven
• Ako element prstena ima inverz za množenje, onda je taj inverz jedinstven.
• Ako prsten ima barem dva elementa, onda je 0 ≠ 1