Razlika između verzija stranice "Prsten (matematika)"

S Wikipedije, slobodne enciklopedije
[nepregledana izmjena][nepregledana izmjena]
Uklonjeni sadržaj Dodani sadržaj
m Bot: premještanje 52 međuwiki linkova koji su sada dostupni na stranici d:q161172 na Wikidati
Red 43: Red 43:


[[Kategorija:Matematika]]
[[Kategorija:Matematika]]

[[ar:حلقة (رياضيات)]]
[[be:Колца, алгебра]]
[[bg:Пръстен (алгебра)]]
[[ca:Anell (matemàtiques)]]
[[cs:Okruh (algebra)]]
[[cv:Ункă (математика)]]
[[da:Ring (matematik)]]
[[de:Ringtheorie]]
[[el:Δακτύλιος (άλγεβρα)]]
[[en:Ring (mathematics)]]
[[eo:Ringo (algebro)]]
[[es:Anillo (matemática)]]
[[et:Ring (algebra)]]
[[fa:حلقه (ریاضی)]]
[[fi:Rengas]]
[[fr:Anneau (mathématiques)]]
[[gl:Anel (álxebra)]]
[[he:חוג (מבנה אלגברי)]]
[[hr:Prsten (matematika)]]
[[hu:Gyűrű (matematika)]]
[[hy:Օղակ]]
[[it:Anello (algebra)]]
[[ja:環 (数学)]]
[[ka:რგოლი (მათემატიკა)]]
[[ko:환 (수학)]]
[[lmo:Anell (matemàtica)]]
[[ml:വലയം (ഗണിതം)]]
[[ms:Gelanggang (matematik)]]
[[nl:Ring (wiskunde)]]
[[nn:Ring i matematikk]]
[[no:Ring (matematikk)]]
[[nov:Ringe (matematike)]]
[[pl:Pierścień (matematyka)]]
[[pms:Anel]]
[[pt:Anel (matemática)]]
[[ro:Inel (matematică)]]
[[ru:Кольцо (математика)]]
[[scn:Aneddu (matimàtica)]]
[[simple:Ring (mathematics)]]
[[sk:Okruh (algebra)]]
[[sl:Kolobar (algebra)]]
[[sr:Алгебарски прстен]]
[[sv:Ring (matematik)]]
[[ta:வளையம் (கணிதம்)]]
[[th:ริง (คณิตศาสตร์)]]
[[tr:Halka (cebir)]]
[[uk:Кільце (алгебра)]]
[[vi:Vành]]
[[vls:Rienk (algebra)]]
[[zh:环 (代数)]]
[[zh-classical:環 (代數)]]
[[zh-min-nan:Khôan]]

Verzija na dan 11 mart 2013 u 07:49

U matematici, prsten je bilo koji neprazan skup R zajedno s dvije binarne operacije + (sabiranje elemenata prstena) i · (množenje elemenata prstena), tako da vrijedi:

  1. (R, +) je abelova grupa, tj. ∀ a, b, c ∈ R vrijedi:
  • asocijativnost sabiranja:
(a + b) + c = a + (b + c)
  • neutralni element za sabiranje
(∃ 0)(0 ∈ R) takav da je a + 0 = 0 + a = a
  • ∀ a∈R ∃ suprotni element -a∈R takav da je
a + (-a) = (-a) + a = 0
  • komutativnost sabiranja
a + b = b + a
  1. (R, ·) je polugrupa, tj. množenje na R je asocijativno
(ab)c = a(bc)
  1. operacije sabiranja i množenja su međusobno usklađene zakonima distribucije:
∀ a, b, c ∈ R vrijedi :
a(b + c)= ab + ac i (a + b)c = ac + bc

Primjeri

  • Trivijalni prsten {0} ima samo jedan element koji je neutralni element i za sabiranje i za množenje
  • Prsten cijelih brojeva s operacijama sabiranja i množenja. To je komutativan prsten
  • Gaussovi cijeli brojevi tvore prsten.
  • Prsten polinoma R[X] s koeficijentima iz prstena R je također prsten.
  • Primjer nekomutativnog prstena: Za bilo koji prsten R i proizvoljan prirodan broj n, skup svih kvadratnih n×n matrica s koeficijentima iz R, tvori prsten s operacijama sabiranja i množenja matrica kao pripadnim operacijama. Za n = 1, ovaj prsten matrica je (izomorfan s) R. Za n≥2, ovaj prsten matrica je primjer nekomutativnog prstena (osim ako je R trivijalan prsten).
  • Primjer konačnog prstena: Ako je n pozitivan cijeli broj, onda skup cijelih brojeva modulo n (koji je kao aditivna grupa ciklička grupa reda n) tvori prsten s n elemenata.

Osnovni teoremi

Iz aksioma se izravno može zaključiti da ako je prsten, imamo:

  • , pod uvjetom da su i a i b invertibilni.

Ostali osnovni teoremi:

  • Neutralni element 1 je jedinstven
  • Ako element prstena ima inverz za množenje, onda je taj inverz jedinstven.
  • Ako prsten ima barem dva elementa, onda je 0 ≠ 1