Razlika između verzija stranice "Limes (matematika)"
[pregledana izmjena] | [pregledana izmjena] |
m r2.7.3) (Bot dodaje: simple:Limit (mathematics) |
|||
Red 99: | Red 99: | ||
{{Link FA|lmo}} |
{{Link FA|lmo}} |
||
[[am:ጥግ]] |
|||
[[ar:نهاية (رياضيات)]] |
|||
[[az:Limit (riyaziyyat)]] |
|||
[[be:Граніца, матэматыка]] |
|||
[[bg:Граница (математика)]] |
|||
[[ca:Límit]] |
|||
[[cs:Limita]] |
|||
[[cy:Terfyn (mathemateg)]] |
|||
[[da:Grænseværdi (matematik)]] |
|||
[[el:Όριο (μαθηματικά)]] |
|||
[[en:Limit (mathematics)]] |
|||
[[eo:Limeso]] |
|||
[[es:Límite matemático]] |
|||
[[eu:Limite]] |
|||
[[fa:حد (ریاضی)]] |
|||
[[fi:Raja-arvo]] |
|||
[[fr:Limite (mathématiques)]] |
|||
[[gan:極限]] |
|||
[[gl:Límite matemático]] |
|||
[[he:גבול (מתמטיקה)]] |
|||
[[hi:सीमा (गणित)]] |
|||
[[hu:Határérték]] |
|||
[[id:Limit]] |
|||
[[io:Limito]] |
|||
[[is:Markgildi]] |
|||
[[it:Limite (matematica)]] |
|||
[[ja:極限]] |
|||
[[km:លីមីត]] |
|||
[[ko:극한]] |
|||
[[la:Limes (mathematica)]] |
|||
[[lmo:Límit (matemàtega)]] |
|||
[[lt:Riba (matematika)]] |
|||
[[lv:Robeža (matemātika)]] |
|||
[[mr:सीमा (गणित)]] |
|||
[[ms:Had (matematik)]] |
|||
[[nl:Limiet]] |
|||
[[nn:Grense i matematikk]] |
|||
[[no:Grenseverdi]] |
|||
[[pl:Granica (matematyka)]] |
|||
[[pt:Limite]] |
|||
[[ro:Limită (matematică)]] |
|||
[[ru:Предел (математика)]] |
|||
[[simple:Limit (mathematics)]] |
|||
[[sk:Limita]] |
|||
[[sq:Limiti]] |
|||
[[sr:Гранична вредност]] |
|||
[[sv:Gränsvärde]] |
|||
[[tr:Limit]] |
|||
[[uk:Границя]] |
|||
[[ur:حد (ریاضی)]] |
|||
[[vi:Giới hạn (toán học)]] |
|||
[[zh:极限 (数学)]] |
Verzija na dan 11 mart 2013 u 22:40
U matematici, koncept "granične vrijednosti" koristi se za opisivanje ponašanja funkcije kako se njen argument "približava" nekoj tački, ili kako argument postaje proizvoljno velik; ili ponašanja elemenata niza kako njihov indeks raste u beskonačnost. Granične vrijednosti se koriste u kalkulusu i drugim granama matematičke analize kako bi se definisala derivacija i neprekidnost.
Granična vrijednost funkcije
Pretpostavimo da je ƒ(x) funkcija realne vrijednosti i da je c realan broj. Izraz:
znači da se ƒ(x) proizvoljno može približiti broju L ako je x dovoljno blizu broja c. U ovom slučaju, možemo reći da je "granična vrijednost funkcije ƒ od x, kada x teži u c, broj L".
Formalna definicija
Karl Weierstrass formalno je definisao graničnu vrijednost kako slijedi:
Neka f bude funkcija definisana na otvorenom intervalu sadržavajući c (osim u c) i neka L bude realan broj.
znači da
- za svaki realan broj ε > 0 postoji realan broj δ > 0 takav da za svako x sa 0 < |x − c| < δ, imamo |f(x) − L| < ε.
ili, simbolički,
Granična vrijednost niza
Razmotrimo niz: 1,79; 1,799; 1,7999; ... Možemo primijetiti da se brojevi "približavaju" broju 1,8, što predstavlja graničnu vrijednost niza.
formalno, pretpostavimo da je x1, x2, ... niz realnih brojeva. Kažemo da je realan broj L granična vrijednost ovog niza i to pišemo kao
što riječima znači
- Za svaki realan broj ε > 0, postoji prirodan broj n0 takav da za svako n > n0, vrijedi |xn − L| < ε.
Korisni identiteti
- , gdje je S skalarni množilac.
- , gdje je b konstanta.
Slijedeća pravila važe samo ako granične vrijednosti sa desne strane postoje i ako su konačne.
- , ako limes u nazivniku nije jednak nuli
Ako je bilo koja od graničnih vrijednosti sa desne strane nedefinisana ili beskonačna, ova pravila ne moraju vrijediti.
Na primjer, , ali je nedefinisan.
Veoma važne granične vrijednosti
L'Hôpitalovo pravilo
Ovo pravilo koristi derivacije i ima uslov za primjenu. (Može se koristiti samo na graničnim vrijednostima oblika 0/0 ili ±∞/±∞. Ostali neodređeni oblici zahtijevaju algebarske manipulacije.)
Na primjer:
Sume i inegrali
Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti je .
Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti je .
Kraći naćin zapisivanja granične vrijednosti je .