E (broj)

Uvod

Prije nego što počnemo o broju  moramo nešto reći o čovjeku koji ga je otkrio. Jakob Bernouli  (Jacob Bernoulli) takođe poznat i kao Džejms ili Žak, rođen je 27. Decembra 1654. a umro je 16. Avgusta 1705. Bio je jedan od mnogih istaknutih matematičara iz porodice Bernouli. Bio je rani zagovornik Leibnic kalkulusa, i bio je na strani Leibnica tokom Leibnic-Njutn kalkulus kontroverze. Poznat je po svojim brojnim doprinosima kalkulusu, i zajedno sa svojim bratom Johanom je bio jedan od osnivača kalkulusa varijacija. Njegov najveći doprinos je bio u polju vjerovatnoće, gdje je izveo prvu verziju zakona velikih brojeva u svom radu „Ars Conjectandi“.

Bernouli je otkrio konstantu  proučavajući polje o složenoj kamati koji ga je zahtjevala da nađe vrijednost sledećeg izraza (koji je ustvari ): 

 

 

Jedan primjer je račun koji počinje sa 1$ i plaća 100% kamate godišnje. Ako se kamata naplaćuje jedanput, na kraju godine, vrijednost je 2$; ali ako se kamata računa i doda dvaput godišnje, 1$ se množi sa 1.5 dvaput, tako 1$*1.5²=2.25$. Dodavanjem kvartalnih tj. četveromjesečnih prinosa 1$*1.25⁴=2.4414...$, i dodavanjem godišnjih prinosa 1$*(1.0833...)¹²=2.613035...$

Bernouli je primjetio da se ovaj niz približava limitu tj. ograničenju za više manjih zajedničkih intervala. Računajući sedmične prinose 2.692597...$, i računajući dnevne prihode 2.714567...$, razlika je samo 2 centa. Koristeći  kao broj zajedničkih intervala, sa kamatom od 100%/ u svakom intervalu, ograničenje za veliko  je broj koji je Ojler kasnije nazvao ; sa ponavljajućim zbrajanjem, vrijednost računa ce dostići 2.7182818...$. Opštije, račun koji je počeo sa 1$, i nudi godišnju kamatu  će, nakon  godina, prihoditi  dolara sa stalnim zbrajanjem.

Broj (matematička konstanta)

Broj  je važna matematička konstanta koja je baza prirodnog logaritma. Ima približnu vrijednost 2.71828, i limit je od  kako se  približava beskonačnosti. Takođe se može računati kao suma beskonačnog niza.

Konstanta se može definisati na mnogo načina. Na primjer,  može biti definisano kao jedinstven pozitivan broj  tako da grafik funkcije  ima nagib kod . Funkcija    se zove eksponencijalna funkcija, i obrnuta je prirodnom logaritmu, ili logaritmu baze . Prirodni logaritam pozitivnog broja  se takođe može definisati direktno kao područje ispod krive  između  i , u kojem slučaju,  je broj čiji je prirodni logaritam 1. Postoje alternativne karakterizacije.

Nazvan Ojlerov broj po Švicarskom matematičaru Leonardu Ojleru,  se ne smije zabuniti sa  Ojler-Maščeroni konstantom, ponekad zvana samo Ojlerova konstanta. Broj  je takođe poznat i kao Napierova konstanta, ali Ojlerov izbor za simbol  je zadržan u njegovu čast. Konstanta je otkrivena Od strane Švicarskog matematičara dok je proučavao polje složene kamate.

Broj  je od velikog značaja u matematici, zajedno sa 0,1, Svih ovih pet brojeva igraju važnu ulogu kroz matematiku, i pet su konstanti koje se pojavljuju u formuli Ojlerovog identiteta. Kao konstanta je iracionalan broj; nije odnos cijelih brojeva; i transcedentalan je broj; nije korijen bilo kojeg polinoma sa racionalnim koeficijentom. Numerična vrijednost  do 50 decimala je 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995...

Istorija

Prva referenca konstante je bila objavljena 1618 u tabeli dodataka u radu o logaritmima Džona Napiera. Ali, ona nije sadržavala samu konstant, nego samo listu logaritama računatih od konstante. Pretpostavlja se da je tabelu napisao Vilijam Ougthred. Otkriće konstante se prepisuje Jakobu Bernouliju, koji je pokušao naći vrijednost izraza (koji je ustvari )

Prvo poznato korišćenje konstante, koristeći slovo , je bilo u prepisci Gotfrid Libnica za Kristijana Hujgensa 1690 i 1691. Leonard Ojler je unio slovo  kao bazu prirodnih logaritama, pisajući u pismu za Kristijana Goldbaha 25. Novembra 1731. Ojler je počeo koristiti slove  za konstantu 1727-e ili 1728-e, u neobjavljenom radu o eksplozivnim silama u topovima, i prva pojava e u izdavanju je bila u knjizi „Ojlerova mehanika“ (1736). Dok su u sledećim godina naučnici koristili slovo ,  je bilo češće korišteno i eventualno je postalo standard.

Bernoulijeve studije

Broj  ima primjenu teoriji vjerovatnosti, gdje raste na način ne očigledno vezan sa eksponencijalnim rastom.

Recimo da kockar igra na slot mašini koja isplaćuje sa vjerovatnoćom od 1: i igra  puta. Onda za veliko  (npr. Milion), vjerovatnoća da kockar izgubi svaku igru je (približno) 1/. Za  je već približno 1:2.79.

Ovo je primjer procesa Bernoulijevih studija. Svaki put kada kockar igra slotove, šansa za dobitak je 1:1000000. Igrajući milion puta je modelirano po binomskoj distribuciji, koja je usko vezana binomskoj teoremi. Šansa pobjeđivanja  puta od milion ponavljanja je;

Posebno, šansa za dobitak nula puta ( je

Razmetanje

Još jedna primjena , takođe dijelom otkrivena od strane Jakoba Bernoulija sa Pierre Raymond de Montmort-om je u problemu  razmetanja, takođe poznat kao „hat check problem“ (problem provjere šešira):

- gostiju je pozvano na zabavu, i na vratima svaki gost daje šešir batleru, koji ih onda stavlja u  kutija, svaka označena sa imenom gosta. Ali batler ne zna identitete gostiju, i tako stavlja šešire u kutije odabrane nasumično. De Montmortov problem je naći vjerovatnoću da nijedan od šešira dođe u pravu kutiju. Odgovor je:

Kako broj gostiju  teži beskonačnosti,  se približava .

Štaviše, broj načina na koji šeširi mogu biti stavljeni u kutije tako da nijedan šešir nije u pravoj kutiji je  zaokruženo do najbližeg cijelog broj, za svako pozitivno .

Asimptotika

Broj  se prirodno pojavljuje u vezi sa mnogo problema sa asimptotikom. Istaknut primjer je Stirlingova formula za asimptotiku faktorijalne funkcije, u koju ulaze oba broja  i :

Posljedica ovog je

Standardna normalna distribucija

Najjednostavniji slučaj normalne distribucije je poznat kao standardna normalna distribucija, opisana ovom vjerovatnoćom funkcije gustine:

Faktor  u ovom izrazu osigurava sa ukupna zona ispod krive  je jednaka jedan.  u eksponentu osigurava da distribucija ima varijaciju jedinica. Ova funkcija je simetrična oko  gdje zadržava maksimalnu vrijednost  ; i ima prevojne tačke kod +1 i -1

Teorija brojeva

Realan broj  je iracionalan. Euler je dokazao ovo pokazivajući da se njegov jednostavni razlomak širi u beskonačnost

Štaviše, po Lindeman-Veierstras teoremi,  je transcedentalan, šta znači da nije rješenje nijedne ne-konstantne polinom jednačine sa racionalnim koeficijentima.

Pretpostavljeno je da je  normalno, šta znači da kada se  izrazi u bilo kojoj bazi, mogući brojevi u toj bazi

Kompleksni brojevi

Eksponencijalna funkcija  se može zapisati kao Tejlorov niz

Zato što ovaj niz zadržava mnoga svojstva  čak i kada je  kompleksan, rijetko se koristi da produži definiciju od  na kompleksne brojeve. Ovo, sa Tejlorovim nizom za sinus i kosinu , dozvoljava da se izvuče Ojlerova formula:

,

koja važi za sve . Specijalni slučaj za  je Ojlerov identitet:

Iz kojeg slijedi da je, u glavnoj grani logaritma,

.

Dalje, koristeći zakone za eksponenciju,

, je Moivreova formula.

Izraz  se nekad odnosi  kao .

Predstavljanje

Broj  se može predstaviti kao realan broj na različite načine: kao beskonačan niz, beskonačan proizvod, stalni razlomak, ili kao limit.Glavni među ovim predstavljanjima posebno u kalkulusu je limit                                                                                          

Manje korišten je stalni razlomak

koji zapisan izgleda

U računarskoj kulturi

U savremenoj internet kulturi, individualci i organizacije ponekad odaju počastu broju .

Naprimjer, IPO (inicijalna javna ponuda, odnosi se na dionice) za Google 2004 je umjesto tipičnog okruglog broj, najavio porast od 2.718.281.818$, što je  milijardi dolara. Google je takođe bio odgovoran za bilbord koji se pojavio u centru Silikonske doline, i kasnije na Kembridžu, Masačusetsu, Vašingtonu i Austinu, na kojem je pisalo „“.                               Rješavajući ovu zagonetku i posjećivanje stranice odgonetnute šifre, je vodilo do stranice na kojoj je još teži problem za rješiti, koji je eventualno vodio do Google labaratorija, gdje je posjetitelj bio ponuđen da preda rezime. Prvih 10 prosti cifara u  su 7427466391, koje počinju kod 99te cifre.